Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118792 / 119032
↖ ↑ ↗
← S 81.198058°
E146.271973°		 ← 46.73 m → S 81.198058°
E146.274719°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.198478°
E146.271973°		 ← 46.72 m →
2 182 m²		 S 81.198478°
E146.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906314849853516 y=0.908145904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906314849853516 × 217)
    floor (0.906314849853516 × 131072)
    floor (118792.5)     		tx = 118792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908145904541016 × 217)
    floor (0.908145904541016 × 131072)
    floor (119032.5)     		ty = 119032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118792 / 119032 ti = "17/118792/119032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118792/119032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118792 ÷ 217
    118792 ÷ 131072     		x = 0.90631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119032 ÷ 217
    119032 ÷ 131072     		y = 0.90814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90631103515625 × 2 - 1) × π
    0.8126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55292753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.8162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56443238207452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55292753} λ = 2.55292753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56443238207452))-π/2
    2×atan(0.0769628545416784)-π/2
    2×0.076811434782083-π/2
    0.153622869564166-1.57079632675     		φ = -1.41717346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55292753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41717346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.198058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118792 KachelY 119032 2.55292753 -1.41717346 146.271973 -81.198058
    Oben rechts KachelX + 1 118793 KachelY 119032 2.55297546 -1.41717346 146.274719 -81.198058
    Unten links KachelX 118792 KachelY + 1 119033 2.55292753 -1.41718079 146.271973 -81.198478
    Unten rechts KachelX + 1 118793 KachelY + 1 119033 2.55297546 -1.41718079 146.274719 -81.198478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41717346--1.41718079) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41717346--1.41718079) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55292753-2.55297546) × cos(-1.41717346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153019329844572 × 6371000     		do = 46.7262931906066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55292753-2.55297546) × cos(-1.41718079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153012086164436 × 6371000     		du = 46.7240812457357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41717346)-sin(-1.41718079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153019329844572-0.153012086164436)×R²
    abs(2.55297546-2.55292753)×7.24368013568788e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.24368013568788e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.24368013568788e-06×40589641000000     		ar = 2182.03960969377m²