Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118785 / 120376
↖ ↑ ↗
← S 81.745300°
E146.252747°		 ← 43.84 m → S 81.745300°
E146.255493°		 →
↑
43.83 m
↓
↑
43.83 m
↓
S 81.745694°
E146.252747°		 ← 43.84 m →
1 922 m²		 S 81.745694°
E146.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906261444091797 y=0.918399810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906261444091797 × 217)
    floor (0.906261444091797 × 131072)
    floor (118785.5)     		tx = 118785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918399810791016 × 217)
    floor (0.918399810791016 × 131072)
    floor (120376.5)     		ty = 120376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118785 / 120376 ti = "17/118785/120376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118785/120376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118785 ÷ 217
    118785 ÷ 131072     		x = 0.906257629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120376 ÷ 217
    120376 ÷ 131072     		y = 0.91839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906257629394531 × 2 - 1) × π
    0.812515258789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.55259197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.8367919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55259197} λ = 2.55259197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62885957516388))-π/2
    2×atan(0.0721607091965753)-π/2
    2×0.0720358480912514-π/2
    0.144071696182503-1.57079632675     		φ = -1.42672463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55259197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.252747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42672463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118785 KachelY 120376 2.55259197 -1.42672463 146.252747 -81.745300
    Oben rechts KachelX + 1 118786 KachelY 120376 2.55263990 -1.42672463 146.255493 -81.745300
    Unten links KachelX 118785 KachelY + 1 120377 2.55259197 -1.42673151 146.252747 -81.745694
    Unten rechts KachelX + 1 118786 KachelY + 1 120377 2.55263990 -1.42673151 146.255493 -81.745694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42672463--1.42673151) × R
    6.87999999993139e-06 × 6371000     		dl = 43.8324799995629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42672463--1.42673151) × R
    6.87999999993139e-06 × 6371000     		dr = 43.8324799995629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55259197-2.55263990) × cos(-1.42672463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143573806080621 × 6371000     		do = 43.8419888796317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55259197-2.55263990) × cos(-1.42673151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143566997356691 × 6371000     		du = 43.8399097538706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42672463)-sin(-1.42673151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143573806080621-0.143566997356691)×R²
    abs(2.55263990-2.55259197)×6.80872393041265e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.80872393041265e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.80872393041265e-06×40589641000000     		ar = 1921.65753395665m²