Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118784 / 20485
↖ ↑ ↗
← N 76.837689°
E146.250000°		 ← 69.55 m → N 76.837689°
E146.252747°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.837064°
E146.250000°		 ← 69.55 m →
4 834 m²		 N 76.837064°
E146.252747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906253814697266 y=0.156291961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906253814697266 × 217)
    floor (0.906253814697266 × 131072)
    floor (118784.5)     		tx = 118784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156291961669922 × 217)
    floor (0.156291961669922 × 131072)
    floor (20485.5)     		ty = 20485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118784 / 20485 ti = "17/118784/20485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118784/20485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118784 ÷ 217
    118784 ÷ 131072     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20485 ÷ 217
    20485 ÷ 131072     		y = 0.156288146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156288146972656 × 2 - 1) × π
    0.687423706054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.15960526478315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15960526478315))-π/2
    2×atan(8.66771553052114)-π/2
    2×1.45593350042531-π/2
    2.91186700085061-1.57079632675     		φ = 1.34107067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34107067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.837689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118784 KachelY 20485 2.55254403 1.34107067 146.250000 76.837689
    Oben rechts KachelX + 1 118785 KachelY 20485 2.55259197 1.34107067 146.252747 76.837689
    Unten links KachelX 118784 KachelY + 1 20486 2.55254403 1.34105976 146.250000 76.837064
    Unten rechts KachelX + 1 118785 KachelY + 1 20486 2.55259197 1.34105976 146.252747 76.837064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34107067-1.34105976) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34107067-1.34105976) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55259197) × cos(1.34107067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22771039619976 × 6371000     		do = 69.5486162649592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55259197) × cos(1.34105976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227721019568533 × 6371000     		du = 69.5518609152281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34107067)-sin(1.34105976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22771039619976-0.227721019568533)×R²
    abs(2.55259197-2.55254403)×1.06233687734159e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06233687734159e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06233687734159e-05×40589641000000     		ar = 4834.27085934345m²