Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118780 / 120428
↖ ↑ ↗
← S 81.765780°
E146.239013°		 ← 43.74 m → S 81.765780°
E146.241760°		 →
↑
43.71 m
↓
↑
43.71 m
↓
S 81.766173°
E146.239013°		 ← 43.74 m →
1 912 m²		 S 81.766173°
E146.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906223297119141 y=0.918796539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906223297119141 × 217)
    floor (0.906223297119141 × 131072)
    floor (118780.5)     		tx = 118780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918796539306641 × 217)
    floor (0.918796539306641 × 131072)
    floor (120428.5)     		ty = 120428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118780 / 120428 ti = "17/118780/120428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118780/120428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118780 ÷ 217
    118780 ÷ 131072     		x = 0.906219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120428 ÷ 217
    120428 ÷ 131072     		y = 0.918792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906219482421875 × 2 - 1) × π
    0.81243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55235228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.83758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.63135229394412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55235228} λ = 2.55235228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63135229394412))-π/2
    2×atan(0.0719810568459841)-π/2
    2×0.0718571240716106-π/2
    0.143714248143221-1.57079632675     		φ = -1.42708208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55235228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42708208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.765780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118780 KachelY 120428 2.55235228 -1.42708208 146.239013 -81.765780
    Oben rechts KachelX + 1 118781 KachelY 120428 2.55240022 -1.42708208 146.241760 -81.765780
    Unten links KachelX 118780 KachelY + 1 120429 2.55235228 -1.42708894 146.239013 -81.766173
    Unten rechts KachelX + 1 118781 KachelY + 1 120429 2.55240022 -1.42708894 146.241760 -81.766173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42708208--1.42708894) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dl = 43.7050600003372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42708208--1.42708894) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dr = 43.7050600003372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55235228-2.55240022) × cos(-1.42708208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143220050236494 × 6371000     		do = 43.7430898262896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55235228-2.55240022) × cos(-1.42708894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143213260953759 × 6371000     		du = 43.7410162045863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42708208)-sin(-1.42708894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143220050236494-0.143213260953759)×R²
    abs(2.55240022-2.55235228)×6.78928273484258e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.78928273484258e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.78928273484258e-06×40589641000000     		ar = 1911.74905171316m²