Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118780 / 119772
↖ ↑ ↗
← S 81.503676°
E146.239013°		 ← 45.13 m → S 81.503676°
E146.241760°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.504082°
E146.239013°		 ← 45.12 m →
2 038 m²		 S 81.504082°
E146.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906223297119141 y=0.913791656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906223297119141 × 217)
    floor (0.906223297119141 × 131072)
    floor (118780.5)     		tx = 118780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913791656494141 × 217)
    floor (0.913791656494141 × 131072)
    floor (119772.5)     		ty = 119772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118780 / 119772 ti = "17/118780/119772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118780/119772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118780 ÷ 217
    118780 ÷ 131072     		x = 0.906219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119772 ÷ 217
    119772 ÷ 131072     		y = 0.913787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906219482421875 × 2 - 1) × π
    0.81243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55235228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.82757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59990568779337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55235228} λ = 2.55235228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59990568779337))-π/2
    2×atan(0.0742805834497243)-π/2
    2×0.0741444169791457-π/2
    0.148288833958291-1.57079632675     		φ = -1.42250749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55235228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42250749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.503676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118780 KachelY 119772 2.55235228 -1.42250749 146.239013 -81.503676
    Oben rechts KachelX + 1 118781 KachelY 119772 2.55240022 -1.42250749 146.241760 -81.503676
    Unten links KachelX 118780 KachelY + 1 119773 2.55235228 -1.42251458 146.239013 -81.504082
    Unten rechts KachelX + 1 118781 KachelY + 1 119773 2.55240022 -1.42251458 146.241760 -81.504082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42250749--1.42251458) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42250749--1.42251458) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55235228-2.55240022) × cos(-1.42250749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147745965829144 × 6371000     		do = 45.1254209453514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55235228-2.55240022) × cos(-1.42251458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147738953635747 × 6371000     		du = 45.1232792409941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42250749)-sin(-1.42251458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147745965829144-0.147738953635747)×R²
    abs(2.55240022-2.55235228)×7.01219339699355e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.01219339699355e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.01219339699355e-06×40589641000000     		ar = 2038.28449221435m²