Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11878 / 13727
↖ ↑ ↗
← N 28.004102°
W 49.504395°		 ← 1 078.60 m → N 28.004102°
W 49.493408°		 →
↑
1 078.61 m
↓
↑
1 078.61 m
↓
N 27.994402°
W 49.504395°		 ← 1 078.70 m →
1 163 444 m²		 N 27.994402°
W 49.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362503051757812 y=0.418930053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362503051757812 × 215)
    floor (0.362503051757812 × 32768)
    floor (11878.5)     		tx = 11878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418930053710938 × 215)
    floor (0.418930053710938 × 32768)
    floor (13727.5)     		ty = 13727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11878 / 13727 ti = "15/11878/13727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11878/13727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11878 ÷ 215
    11878 ÷ 32768     		x = 0.36248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13727 ÷ 215
    13727 ÷ 32768     		y = 0.418914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.2750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86401468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    0.16217041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.509473369161957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86401468} λ = -0.86401468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509473369161957))-π/2
    2×atan(1.66441443213374)-π/2
    2×1.02978005389287-π/2
    2.05956010778574-1.57079632675     		φ = 0.48876378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86401468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.504395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48876378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.004102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11878 KachelY 13727 -0.86401468 0.48876378 -49.504395 28.004102
    Oben rechts KachelX + 1 11879 KachelY 13727 -0.86382293 0.48876378 -49.493408 28.004102
    Unten links KachelX 11878 KachelY + 1 13728 -0.86401468 0.48859448 -49.504395 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 11879 KachelY + 1 13728 -0.86382293 0.48859448 -49.493408 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48876378-0.48859448) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dl = 1078.61029999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48876378-0.48859448) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dr = 1078.61029999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86401468--0.86382293) × cos(0.48876378) × R
    0.000191750000000046 × 0.88291398138936 × 6371000     		do = 1078.60237403927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86401468--0.86382293) × cos(0.48859448) × R
    0.000191750000000046 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 1078.69946941762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48876378)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88291398138936-0.882993460972506)×R²
    abs(-0.86382293--0.86401468)×7.94795831461359e-05×R²
    0.000191750000000046×7.94795831461359e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.94795831461359e-05×40589641000000     		ar = 1163443.99705971m²