Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118779 / 120427
↖ ↑ ↗
← S 81.765387°
E146.236267°		 ← 43.74 m → S 81.765387°
E146.239013°		 →
↑
43.77 m
↓
↑
43.77 m
↓
S 81.765780°
E146.236267°		 ← 43.73 m →
1 914 m²		 S 81.765780°
E146.239013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906215667724609 y=0.918788909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906215667724609 × 217)
    floor (0.906215667724609 × 131072)
    floor (118779.5)     		tx = 118779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918788909912109 × 217)
    floor (0.918788909912109 × 131072)
    floor (120427.5)     		ty = 120427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118779 / 120427 ti = "17/118779/120427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118779/120427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118779 ÷ 217
    118779 ÷ 131072     		x = 0.906211853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120427 ÷ 217
    120427 ÷ 131072     		y = 0.918785095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906211853027344 × 2 - 1) × π
    0.812423706054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.55230435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918785095214844 × 2 - 1) × π
    -0.837570190429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.6313043570445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55230435} λ = 2.55230435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6313043570445))-π/2
    2×atan(0.0719845074773863)-π/2
    2×0.0718605569156595-π/2
    0.143721113831319-1.57079632675     		φ = -1.42707521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55230435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.236267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42707521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.765387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118779 KachelY 120427 2.55230435 -1.42707521 146.236267 -81.765387
    Oben rechts KachelX + 1 118780 KachelY 120427 2.55235228 -1.42707521 146.239013 -81.765387
    Unten links KachelX 118779 KachelY + 1 120428 2.55230435 -1.42708208 146.236267 -81.765780
    Unten rechts KachelX + 1 118780 KachelY + 1 120428 2.55235228 -1.42708208 146.239013 -81.765780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42707521--1.42708208) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dl = 43.7687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42707521--1.42708208) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dr = 43.7687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55230435-2.55235228) × cos(-1.42707521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143226849409388 × 6371000     		do = 43.7360414861817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55230435-2.55235228) × cos(-1.42708208) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143220050236494 × 6371000     		du = 43.7339652769445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42707521)-sin(-1.42708208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143226849409388-0.143220050236494)×R²
    abs(2.55235228-2.55230435)×6.79917289375664e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.79917289375664e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.79917289375664e-06×40589641000000     		ar = 1914.22730396107m²