Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118776 / 119815
↖ ↑ ↗
← S 81.521107°
E146.228028°		 ← 45.02 m → S 81.521107°
E146.230774°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.521512°
E146.228028°		 ← 45.02 m →
2 028 m²		 S 81.521512°
E146.230774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906192779541016 y=0.914119720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906192779541016 × 217)
    floor (0.906192779541016 × 131072)
    floor (118776.5)     		tx = 118776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914119720458984 × 217)
    floor (0.914119720458984 × 131072)
    floor (119815.5)     		ty = 119815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118776 / 119815 ti = "17/118776/119815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118776/119815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118776 ÷ 217
    118776 ÷ 131072     		x = 0.90618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119815 ÷ 217
    119815 ÷ 131072     		y = 0.914115905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90618896484375 × 2 - 1) × π
    0.8123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55216054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914115905761719 × 2 - 1) × π
    -0.828231811523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.60196697447703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55216054} λ = 2.55216054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60196697447703))-π/2
    2×atan(0.0741276275693223)-π/2
    2×0.0739922987001969-π/2
    0.147984597400394-1.57079632675     		φ = -1.42281173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55216054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42281173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.521107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118776 KachelY 119815 2.55216054 -1.42281173 146.228028 -81.521107
    Oben rechts KachelX + 1 118777 KachelY 119815 2.55220847 -1.42281173 146.230774 -81.521107
    Unten links KachelX 118776 KachelY + 1 119816 2.55216054 -1.42281880 146.228028 -81.521512
    Unten rechts KachelX + 1 118777 KachelY + 1 119816 2.55220847 -1.42281880 146.230774 -81.521512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42281173--1.42281880) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42281173--1.42281880) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55216054-2.55220847) × cos(-1.42281173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147445057925528 × 6371000     		do = 45.0241222016343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55216054-2.55220847) × cos(-1.42281880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147438065195192 × 6371000     		du = 45.0219868873036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42281173)-sin(-1.42281880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147445057925528-0.147438065195192)×R²
    abs(2.55220847-2.55216054)×6.99273033610837e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.99273033610837e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.99273033610837e-06×40589641000000     		ar = 2027.97209505368m²