Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118770 / 119022
↖ ↑ ↗
← S 81.193854°
E146.211548°		 ← 46.76 m → S 81.193854°
E146.214294°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.194275°
E146.211548°		 ← 46.76 m →
2 187 m²		 S 81.194275°
E146.214294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906147003173828 y=0.908069610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906147003173828 × 217)
    floor (0.906147003173828 × 131072)
    floor (118770.5)     		tx = 118770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908069610595703 × 217)
    floor (0.908069610595703 × 131072)
    floor (119022.5)     		ty = 119022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118770 / 119022 ti = "17/118770/119022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118770/119022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118770 ÷ 217
    118770 ÷ 131072     		x = 0.906143188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119022 ÷ 217
    119022 ÷ 131072     		y = 0.908065795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906143188476562 × 2 - 1) × π
    0.812286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55187291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908065795898438 × 2 - 1) × π
    -0.816131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56395301307832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55187291} λ = 2.55187291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56395301307832))-π/2
    2×atan(0.0769997569922435)-π/2
    2×0.0768481198325798-π/2
    0.15369623966516-1.57079632675     		φ = -1.41710009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55187291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.211548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41710009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.193854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118770 KachelY 119022 2.55187291 -1.41710009 146.211548 -81.193854
    Oben rechts KachelX + 1 118771 KachelY 119022 2.55192085 -1.41710009 146.214294 -81.193854
    Unten links KachelX 118770 KachelY + 1 119023 2.55187291 -1.41710743 146.211548 -81.194275
    Unten rechts KachelX + 1 118771 KachelY + 1 119023 2.55192085 -1.41710743 146.214294 -81.194275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41710009--1.41710743) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41710009--1.41710743) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55187291-2.55192085) × cos(-1.41710009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153091835368518 × 6371000     		do = 46.7581871053572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55187291-2.55192085) × cos(-1.41710743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153084581888563 × 6371000     		du = 46.7559717058744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41710009)-sin(-1.41710743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153091835368518-0.153084581888563)×R²
    abs(2.55192085-2.55187291)×7.25347995508829e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25347995508829e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25347995508829e-06×40589641000000     		ar = 2186.50785040277m²