Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11877 / 13725
↖ ↑ ↗
← N 28.023500°
W 49.515381°		 ← 1 078.41 m → N 28.023500°
W 49.504395°		 →
↑
1 078.42 m
↓
↑
1 078.42 m
↓
N 28.013801°
W 49.515381°		 ← 1 078.51 m →
1 163 028 m²		 N 28.013801°
W 49.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362472534179688 y=0.418869018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362472534179688 × 215)
    floor (0.362472534179688 × 32768)
    floor (11877.5)     		tx = 11877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418869018554688 × 215)
    floor (0.418869018554688 × 32768)
    floor (13725.5)     		ty = 13725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11877 / 13725 ti = "15/11877/13725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11877/13725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11877 ÷ 215
    11877 ÷ 32768     		x = 0.362457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13725 ÷ 215
    13725 ÷ 32768     		y = 0.418853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.27508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86420643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418853759765625 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.509856864358917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86420643} λ = -0.86420643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509856864358917))-π/2
    2×atan(1.66505284948138)-π/2
    2×1.02994933528392-π/2
    2.05989867056783-1.57079632675     		φ = 0.48910234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86420643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.515381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48910234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.023500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11877 KachelY 13725 -0.86420643 0.48910234 -49.515381 28.023500
    Oben rechts KachelX + 1 11878 KachelY 13725 -0.86401468 0.48910234 -49.504395 28.023500
    Unten links KachelX 11877 KachelY + 1 13726 -0.86420643 0.48893307 -49.515381 28.013801
    Unten rechts KachelX + 1 11878 KachelY + 1 13726 -0.86401468 0.48893307 -49.504395 28.013801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48910234-0.48893307) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dl = 1078.41916999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48910234-0.48893307) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dr = 1078.41916999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86420643--0.86401468) × cos(0.48910234) × R
    0.000191749999999935 × 0.882754965099155 × 6371000     		do = 1078.40811349714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86420643--0.86401468) × cos(0.48893307) × R
    0.000191749999999935 × 0.882834481196543 × 6371000     		du = 1078.50525348272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48910234)-sin(0.48893307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882754965099155-0.882834481196543)×R²
    abs(-0.86401468--0.86420643)×7.95160973886544e-05×R²
    0.000191749999999935×7.95160973886544e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.95160973886544e-05×40589641000000     		ar = 1163028.36426723m²