Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118769 / 119825
↖ ↑ ↗
← S 81.525156°
E146.208801°		 ← 45 m → S 81.525156°
E146.211548°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.525561°
E146.208801°		 ← 45 m →
2 027 m²		 S 81.525561°
E146.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906139373779297 y=0.914196014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906139373779297 × 217)
    floor (0.906139373779297 × 131072)
    floor (118769.5)     		tx = 118769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914196014404297 × 217)
    floor (0.914196014404297 × 131072)
    floor (119825.5)     		ty = 119825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118769 / 119825 ti = "17/118769/119825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118769/119825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118769 ÷ 217
    118769 ÷ 131072     		x = 0.906135559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119825 ÷ 217
    119825 ÷ 131072     		y = 0.914192199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906135559082031 × 2 - 1) × π
    0.812271118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.55182498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914192199707031 × 2 - 1) × π
    -0.828384399414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.60244634347323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55182498} λ = 2.55182498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60244634347323))-π/2
    2×atan(0.0740921015986085)-π/2
    2×0.0739569667819927-π/2
    0.147913933563985-1.57079632675     		φ = -1.42288239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55182498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.208801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42288239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.525156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118769 KachelY 119825 2.55182498 -1.42288239 146.208801 -81.525156
    Oben rechts KachelX + 1 118770 KachelY 119825 2.55187291 -1.42288239 146.211548 -81.525156
    Unten links KachelX 118769 KachelY + 1 119826 2.55182498 -1.42288946 146.208801 -81.525561
    Unten rechts KachelX + 1 118770 KachelY + 1 119826 2.55187291 -1.42288946 146.211548 -81.525561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42288239--1.42288946) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42288239--1.42288946) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55182498-2.55187291) × cos(-1.42288239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147375169853799 × 6371000     		do = 45.0027810381783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55182498-2.55187291) × cos(-1.42288946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147368177049823 × 6371000     		du = 45.000645701361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42288239)-sin(-1.42288946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147375169853799-0.147368177049823)×R²
    abs(2.55187291-2.55182498)×6.99280397545299e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.99280397545299e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.99280397545299e-06×40589641000000     		ar = 2027.01082506754m²