Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118768 / 119818
↖ ↑ ↗
← S 81.522322°
E146.206055°		 ← 45.03 m → S 81.522322°
E146.208801°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.522727°
E146.206055°		 ← 45.02 m →
2 028 m²		 S 81.522727°
E146.208801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906131744384766 y=0.914142608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906131744384766 × 217)
    floor (0.906131744384766 × 131072)
    floor (118768.5)     		tx = 118768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914142608642578 × 217)
    floor (0.914142608642578 × 131072)
    floor (119818.5)     		ty = 119818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118768 / 119818 ti = "17/118768/119818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118768/119818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118768 ÷ 217
    118768 ÷ 131072     		x = 0.9061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119818 ÷ 217
    119818 ÷ 131072     		y = 0.914138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55177704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914138793945312 × 2 - 1) × π
    -0.828277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60211078517589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55177704} λ = 2.55177704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60211078517589))-π/2
    2×atan(0.0741169679898959)-π/2
    2×0.0739816973657216-π/2
    0.147963394731443-1.57079632675     		φ = -1.42283293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55177704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42283293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.522322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118768 KachelY 119818 2.55177704 -1.42283293 146.206055 -81.522322
    Oben rechts KachelX + 1 118769 KachelY 119818 2.55182498 -1.42283293 146.208801 -81.522322
    Unten links KachelX 118768 KachelY + 1 119819 2.55177704 -1.42284000 146.206055 -81.522727
    Unten rechts KachelX + 1 118769 KachelY + 1 119819 2.55182498 -1.42284000 146.208801 -81.522727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42283293--1.42284000) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dl = 45.042970000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42283293--1.42284000) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dr = 45.042970000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55177704-2.55182498) × cos(-1.42283293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147424089603144 × 6371000     		do = 45.0271116608371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55177704-2.55182498) × cos(-1.42284000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14741709685071 × 6371000     		du = 45.0249758942504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42283293)-sin(-1.42284000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147424089603144-0.14741709685071)×R²
    abs(2.55182498-2.55177704)×6.99275243390418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.99275243390418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.99275243390418e-06×40589641000000     		ar = 2028.10673905804m²