Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118767 / 119821
↖ ↑ ↗
← S 81.523537°
E146.203308°		 ← 45.02 m → S 81.523537°
E146.206055°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.523942°
E146.203308°		 ← 45.02 m →
2 028 m²		 S 81.523942°
E146.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906124114990234 y=0.914165496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906124114990234 × 217)
    floor (0.906124114990234 × 131072)
    floor (118767.5)     		tx = 118767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914165496826172 × 217)
    floor (0.914165496826172 × 131072)
    floor (119821.5)     		ty = 119821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118767 / 119821 ti = "17/118767/119821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118767/119821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118767 ÷ 217
    118767 ÷ 131072     		x = 0.906120300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119821 ÷ 217
    119821 ÷ 131072     		y = 0.914161682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906120300292969 × 2 - 1) × π
    0.812240600585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55172910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914161682128906 × 2 - 1) × π
    -0.828323364257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.60225459587475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55172910} λ = 2.55172910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60225459587475))-π/2
    2×atan(0.0741063099433208)-π/2
    2×0.0739710975390659-π/2
    0.147942195078132-1.57079632675     		φ = -1.42285413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55172910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.203308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42285413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.523537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118767 KachelY 119821 2.55172910 -1.42285413 146.203308 -81.523537
    Oben rechts KachelX + 1 118768 KachelY 119821 2.55177704 -1.42285413 146.206055 -81.523537
    Unten links KachelX 118767 KachelY + 1 119822 2.55172910 -1.42286120 146.203308 -81.523942
    Unten rechts KachelX + 1 118768 KachelY + 1 119822 2.55177704 -1.42286120 146.206055 -81.523942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42285413--1.42286120) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dl = 45.042970000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42285413--1.42286120) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dr = 45.042970000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55172910-2.55177704) × cos(-1.42285413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147403121214502 × 6371000     		do = 45.0207073752196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55172910-2.55177704) × cos(-1.42286120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147396128439974 × 6371000     		du = 45.0185716018846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42285413)-sin(-1.42286120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147403121214502-0.147396128439974)×R²
    abs(2.55177704-2.55172910)×6.99277452831382e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.99277452831382e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.99277452831382e-06×40589641000000     		ar = 2027.81827097716m²