Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118766 / 120442
↖ ↑ ↗
← S 81.771285°
E146.200562°		 ← 43.70 m → S 81.771285°
E146.203308°		 →
↑
43.71 m
↓
↑
43.71 m
↓
S 81.771678°
E146.200562°		 ← 43.70 m →
1 910 m²		 S 81.771678°
E146.203308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906116485595703 y=0.918903350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906116485595703 × 217)
    floor (0.906116485595703 × 131072)
    floor (118766.5)     		tx = 118766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918903350830078 × 217)
    floor (0.918903350830078 × 131072)
    floor (120442.5)     		ty = 120442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118766 / 120442 ti = "17/118766/120442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118766/120442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118766 ÷ 217
    118766 ÷ 131072     		x = 0.906112670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120442 ÷ 217
    120442 ÷ 131072     		y = 0.918899536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906112670898438 × 2 - 1) × π
    0.812225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55168117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918899536132812 × 2 - 1) × π
    -0.837799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6320234105388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55168117} λ = 2.55168117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6320234105388))-π/2
    2×atan(0.0719327653706499)-π/2
    2×0.071809081351739-π/2
    0.143618162703478-1.57079632675     		φ = -1.42717816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55168117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.200562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42717816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.771285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118766 KachelY 120442 2.55168117 -1.42717816 146.200562 -81.771285
    Oben rechts KachelX + 1 118767 KachelY 120442 2.55172910 -1.42717816 146.203308 -81.771285
    Unten links KachelX 118766 KachelY + 1 120443 2.55168117 -1.42718502 146.200562 -81.771678
    Unten rechts KachelX + 1 118767 KachelY + 1 120443 2.55172910 -1.42718502 146.203308 -81.771678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42717816--1.42718502) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dl = 43.7050600003372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42717816--1.42718502) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dr = 43.7050600003372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55168117-2.55172910) × cos(-1.42717816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143124960076838 × 6371000     		do = 43.7049283527591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55168117-2.55172910) × cos(-1.42718502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143118170699739 × 6371000     		du = 43.7028551347857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42717816)-sin(-1.42718502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143124960076838-0.143118170699739)×R²
    abs(2.55172910-2.55168117)×6.78937709885918e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.78937709885918e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.78937709885918e-06×40589641000000     		ar = 1910.08121095449m²