Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118755 / 120420
↖ ↑ ↗
← S 81.762632°
E146.170349°		 ← 43.76 m → S 81.762632°
E146.173096°		 →
↑
43.77 m
↓
↑
43.77 m
↓
S 81.763026°
E146.170349°		 ← 43.76 m →
1 915 m²		 S 81.763026°
E146.173096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906032562255859 y=0.918735504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906032562255859 × 217)
    floor (0.906032562255859 × 131072)
    floor (118755.5)     		tx = 118755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918735504150391 × 217)
    floor (0.918735504150391 × 131072)
    floor (120420.5)     		ty = 120420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118755 / 120420 ti = "17/118755/120420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118755/120420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118755 ÷ 217
    118755 ÷ 131072     		x = 0.906028747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120420 ÷ 217
    120420 ÷ 131072     		y = 0.918731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906028747558594 × 2 - 1) × π
    0.812057495117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.55115386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.83746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63096879874716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55115386} λ = 2.55115386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63096879874716))-π/2
    2×atan(0.0720086665293088)-π/2
    2×0.0718845913847053-π/2
    0.143769182769411-1.57079632675     		φ = -1.42702714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55115386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.170349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42702714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.762632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118755 KachelY 120420 2.55115386 -1.42702714 146.170349 -81.762632
    Oben rechts KachelX + 1 118756 KachelY 120420 2.55120180 -1.42702714 146.173096 -81.762632
    Unten links KachelX 118755 KachelY + 1 120421 2.55115386 -1.42703401 146.170349 -81.763026
    Unten rechts KachelX + 1 118756 KachelY + 1 120421 2.55120180 -1.42703401 146.173096 -81.763026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42702714--1.42703401) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dl = 43.7687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42702714--1.42703401) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dr = 43.7687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55115386-2.55120180) × cos(-1.42702714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14327442363669 × 6371000     		do = 43.7596968622808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55115386-2.55120180) × cos(-1.42703401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143267624511102 × 6371000     		du = 43.7576202343168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42702714)-sin(-1.42703401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14327442363669-0.143267624511102)×R²
    abs(2.55120180-2.55115386)×6.79912558768092e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.79912558768092e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.79912558768092e-06×40589641000000     		ar = 1915.2626615336m²