Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118753 / 120418
↖ ↑ ↗
← S 81.761846°
E146.164856°		 ← 43.75 m → S 81.761846°
E146.167602°		 →
↑
43.77 m
↓
↑
43.77 m
↓
S 81.762239°
E146.164856°		 ← 43.75 m →
1 915 m²		 S 81.762239°
E146.167602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906017303466797 y=0.918720245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906017303466797 × 217)
    floor (0.906017303466797 × 131072)
    floor (118753.5)     		tx = 118753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918720245361328 × 217)
    floor (0.918720245361328 × 131072)
    floor (120418.5)     		ty = 120418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118753 / 120418 ti = "17/118753/120418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118753/120418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118753 ÷ 217
    118753 ÷ 131072     		x = 0.906013488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120418 ÷ 217
    120418 ÷ 131072     		y = 0.918716430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906013488769531 × 2 - 1) × π
    0.812026977539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.55105799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918716430664062 × 2 - 1) × π
    -0.837432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.63087292494792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55105799} λ = 2.55105799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63087292494792))-π/2
    2×atan(0.0720155706047018)-π/2
    2×0.0718914598420286-π/2
    0.143782919684057-1.57079632675     		φ = -1.42701341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55105799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.164856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42701341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.761846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118753 KachelY 120418 2.55105799 -1.42701341 146.164856 -81.761846
    Oben rechts KachelX + 1 118754 KachelY 120418 2.55110592 -1.42701341 146.167602 -81.761846
    Unten links KachelX 118753 KachelY + 1 120419 2.55105799 -1.42702028 146.164856 -81.762239
    Unten rechts KachelX + 1 118754 KachelY + 1 120419 2.55110592 -1.42702028 146.167602 -81.762239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42701341--1.42702028) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dl = 43.7687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42701341--1.42702028) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dr = 43.7687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55105799-2.55110592) × cos(-1.42701341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143288011970768 × 6371000     		do = 43.7547182100849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55105799-2.55110592) × cos(-1.42702028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143281212858695 × 6371000     		du = 43.7526420194201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42701341)-sin(-1.42702028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143288011970768-0.143281212858695)×R²
    abs(2.55110592-2.55105799)×6.79911207299155e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.79911207299155e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.79911207299155e-06×40589641000000     		ar = 1915.0447615823m²