Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118752 / 120416
↖ ↑ ↗
← S 81.761058°
E146.162109°		 ← 43.77 m → S 81.761058°
E146.164856°		 →
↑
43.77 m
↓
↑
43.77 m
↓
S 81.761452°
E146.162109°		 ← 43.77 m →
1 916 m²		 S 81.761452°
E146.164856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906009674072266 y=0.918704986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906009674072266 × 217)
    floor (0.906009674072266 × 131072)
    floor (118752.5)     		tx = 118752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918704986572266 × 217)
    floor (0.918704986572266 × 131072)
    floor (120416.5)     		ty = 120416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118752 / 120416 ti = "17/118752/120416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118752/120416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118752 ÷ 217
    118752 ÷ 131072     		x = 0.906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120416 ÷ 217
    120416 ÷ 131072     		y = 0.918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55101005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.83740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.63077705114868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55101005} λ = 2.55101005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63077705114868))-π/2
    2×atan(0.0720224753420466)-π/2
    2×0.0718983289510928-π/2
    0.143796657902186-1.57079632675     		φ = -1.42699967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55101005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42699967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.761058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118752 KachelY 120416 2.55101005 -1.42699967 146.162109 -81.761058
    Oben rechts KachelX + 1 118753 KachelY 120416 2.55105799 -1.42699967 146.164856 -81.761058
    Unten links KachelX 118752 KachelY + 1 120417 2.55101005 -1.42700654 146.162109 -81.761452
    Unten rechts KachelX + 1 118753 KachelY + 1 120417 2.55105799 -1.42700654 146.164856 -81.761452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42699967--1.42700654) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dl = 43.7687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42699967--1.42700654) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dr = 43.7687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55101005-2.55105799) × cos(-1.42699967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143301610174626 × 6371000     		do = 43.7680003307479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55101005-2.55105799) × cos(-1.42700654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143294811076078 × 6371000     		du = 43.7659237110428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42699967)-sin(-1.42700654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143301610174626-0.143294811076078)×R²
    abs(2.55105799-2.55101005)×6.7990985471722e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.7990985471722e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.7990985471722e-06×40589641000000     		ar = 1915.6260942958m²