Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118751 / 119712
↖ ↑ ↗
← S 81.479293°
E146.159363°		 ← 45.25 m → S 81.479293°
E146.162109°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
S 81.479700°
E146.159363°		 ← 45.25 m →
2 047 m²		 S 81.479700°
E146.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906002044677734 y=0.913333892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906002044677734 × 217)
    floor (0.906002044677734 × 131072)
    floor (118751.5)     		tx = 118751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913333892822266 × 217)
    floor (0.913333892822266 × 131072)
    floor (119712.5)     		ty = 119712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118751 / 119712 ti = "17/118751/119712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118751/119712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118751 ÷ 217
    118751 ÷ 131072     		x = 0.905998229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119712 ÷ 217
    119712 ÷ 131072     		y = 0.913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905998229980469 × 2 - 1) × π
    0.811996459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55096211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55096211} λ = 2.55096211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59702947381616))-π/2
    2×atan(0.07449453784389)-π/2
    2×0.0743571939690907-π/2
    0.148714387938181-1.57079632675     		φ = -1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55096211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.159363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118751 KachelY 119712 2.55096211 -1.42208194 146.159363 -81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 118752 KachelY 119712 2.55101005 -1.42208194 146.162109 -81.479293
    Unten links KachelX 118751 KachelY + 1 119713 2.55096211 -1.42208904 146.159363 -81.479700
    Unten rechts KachelX + 1 118752 KachelY + 1 119713 2.55101005 -1.42208904 146.162109 -81.479700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42208194--1.42208904) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42208194--1.42208904) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55096211-2.55101005) × cos(-1.42208194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 45.2539643599849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55096211-2.55101005) × cos(-1.42208904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148159810536759 × 6371000     		du = 45.2518197714196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42208194)-sin(-1.42208904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.148159810536759)×R²
    abs(2.55101005-2.55096211)×7.02163663524047e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.02163663524047e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.02163663524047e-06×40589641000000     		ar = 2046.97384507675m²