Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118750 / 119782
↖ ↑ ↗
← S 81.507733°
E146.156616°		 ← 45.09 m → S 81.507733°
E146.159363°		 →
↑
45.11 m
↓
↑
45.11 m
↓
S 81.508138°
E146.156616°		 ← 45.09 m →
2 034 m²		 S 81.508138°
E146.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905994415283203 y=0.913867950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905994415283203 × 217)
    floor (0.905994415283203 × 131072)
    floor (118750.5)     		tx = 118750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913867950439453 × 217)
    floor (0.913867950439453 × 131072)
    floor (119782.5)     		ty = 119782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118750 / 119782 ti = "17/118750/119782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118750/119782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118750 ÷ 217
    118750 ÷ 131072     		x = 0.905990600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119782 ÷ 217
    119782 ÷ 131072     		y = 0.913864135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905990600585938 × 2 - 1) × π
    0.811981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55091418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913864135742188 × 2 - 1) × π
    -0.827728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60038505678957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55091418} λ = 2.55091418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60038505678957))-π/2
    2×atan(0.074244984174275)-π/2
    2×0.0741090129555118-π/2
    0.148218025911024-1.57079632675     		φ = -1.42257830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55091418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42257830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.507733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118750 KachelY 119782 2.55091418 -1.42257830 146.156616 -81.507733
    Oben rechts KachelX + 1 118751 KachelY 119782 2.55096211 -1.42257830 146.159363 -81.507733
    Unten links KachelX 118750 KachelY + 1 119783 2.55091418 -1.42258538 146.156616 -81.508138
    Unten rechts KachelX + 1 118751 KachelY + 1 119783 2.55096211 -1.42258538 146.159363 -81.508138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42257830--1.42258538) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dl = 45.1066799988922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42257830--1.42258538) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dr = 45.1066799988922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55091418-2.55096211) × cos(-1.42257830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147675932574244 × 6371000     		do = 45.0946225530419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55091418-2.55096211) × cos(-1.42258538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14766893019706 × 6371000     		du = 45.0924842929302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42257830)-sin(-1.42258538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147675932574244-0.14766893019706)×R²
    abs(2.55096211-2.55091418)×7.00237718381791e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.00237718381791e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.00237718381791e-06×40589641000000     		ar = 2034.02048418993m²