Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11875 / 14187
↖ ↑ ↗
← N 23.453168°
W 49.537353°		 ← 1 120.71 m → N 23.453168°
W 49.526367°		 →
↑
1 120.72 m
↓
↑
1 120.72 m
↓
N 23.443089°
W 49.537353°		 ← 1 120.80 m →
1 256 058 m²		 N 23.443089°
W 49.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362411499023438 y=0.432968139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362411499023438 × 215)
    floor (0.362411499023438 × 32768)
    floor (11875.5)     		tx = 11875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432968139648438 × 215)
    floor (0.432968139648438 × 32768)
    floor (14187.5)     		ty = 14187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11875 / 14187 ti = "15/11875/14187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11875/14187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11875 ÷ 215
    11875 ÷ 32768     		x = 0.362396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14187 ÷ 215
    14187 ÷ 32768     		y = 0.432952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.27520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86458992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432952880859375 × 2 - 1) × π
    0.13409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421269473861053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86458992} λ = -0.86458992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421269473861053))-π/2
    2×atan(1.52389487291927)-π/2
    2×0.990065664342507-π/2
    1.98013132868501-1.57079632675     		φ = 0.40933500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86458992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.537353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40933500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.453168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11875 KachelY 14187 -0.86458992 0.40933500 -49.537353 23.453168
    Oben rechts KachelX + 1 11876 KachelY 14187 -0.86439817 0.40933500 -49.526367 23.453168
    Unten links KachelX 11875 KachelY + 1 14188 -0.86458992 0.40915909 -49.537353 23.443089
    Unten rechts KachelX + 1 11876 KachelY + 1 14188 -0.86439817 0.40915909 -49.526367 23.443089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40933500-0.40915909) × R
    0.000175910000000001 × 6371000     		dl = 1120.72261000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40933500-0.40915909) × R
    0.000175910000000001 × 6371000     		dr = 1120.72261000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86458992--0.86439817) × cos(0.40933500) × R
    0.000191750000000046 × 0.917385695213307 × 6371000     		do = 1120.71437266138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86458992--0.86439817) × cos(0.40915909) × R
    0.000191750000000046 × 0.917455693085462 × 6371000     		du = 1120.79988480942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40933500)-sin(0.40915909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917385695213307-0.917455693085462)×R²
    abs(-0.86439817--0.86458992)×6.99978721548922e-05×R²
    0.000191750000000046×6.99978721548922e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.99978721548922e-05×40589641000000     		ar = 1256057.85773116m²