Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118742 / 119786
↖ ↑ ↗
← S 81.509355°
E146.134643°		 ← 45.10 m → S 81.509355°
E146.137390°		 →
↑
45.11 m
↓
↑
45.11 m
↓
S 81.509760°
E146.134643°		 ← 45.09 m →
2 034 m²		 S 81.509760°
E146.137390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905933380126953 y=0.913898468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905933380126953 × 217)
    floor (0.905933380126953 × 131072)
    floor (118742.5)     		tx = 118742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913898468017578 × 217)
    floor (0.913898468017578 × 131072)
    floor (119786.5)     		ty = 119786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118742 / 119786 ti = "17/118742/119786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118742/119786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118742 ÷ 217
    118742 ÷ 131072     		x = 0.905929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119786 ÷ 217
    119786 ÷ 131072     		y = 0.913894653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905929565429688 × 2 - 1) × π
    0.811859130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55053068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913894653320312 × 2 - 1) × π
    -0.827789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60057680438805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55053068} λ = 2.55053068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60057680438805))-π/2
    2×atan(0.0742307492416611)-π/2
    2×0.074094856045323-π/2
    0.148189712090646-1.57079632675     		φ = -1.42260661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55053068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.134643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42260661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.509355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118742 KachelY 119786 2.55053068 -1.42260661 146.134643 -81.509355
    Oben rechts KachelX + 1 118743 KachelY 119786 2.55057862 -1.42260661 146.137390 -81.509355
    Unten links KachelX 118742 KachelY + 1 119787 2.55053068 -1.42261369 146.134643 -81.509760
    Unten rechts KachelX + 1 118743 KachelY + 1 119787 2.55057862 -1.42261369 146.137390 -81.509760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42260661--1.42261369) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dl = 45.1066799988922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42260661--1.42261369) × R
    7.07999999982611e-06 × 6371000     		dr = 45.1066799988922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55053068-2.55057862) × cos(-1.42260661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147647932911497 × 6371000     		do = 45.0954791689347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55053068-2.55057862) × cos(-1.42261369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147640930504717 × 6371000     		du = 45.0933404536622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42260661)-sin(-1.42261369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147647932911497-0.147640930504717)×R²
    abs(2.55057862-2.55053068)×7.00240677972697e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.00240677972697e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.00240677972697e-06×40589641000000     		ar = 2034.05911294073m²