Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118735 / 119601
↖ ↑ ↗
← S 81.434003°
E146.115417°		 ← 45.49 m → S 81.434003°
E146.118164°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.434412°
E146.115417°		 ← 45.49 m →
2 069 m²		 S 81.434412°
E146.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905879974365234 y=0.912487030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905879974365234 × 217)
    floor (0.905879974365234 × 131072)
    floor (118735.5)     		tx = 118735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912487030029297 × 217)
    floor (0.912487030029297 × 131072)
    floor (119601.5)     		ty = 119601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118735 / 119601 ti = "17/118735/119601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118735/119601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118735 ÷ 217
    118735 ÷ 131072     		x = 0.905876159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119601 ÷ 217
    119601 ÷ 131072     		y = 0.912483215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905876159667969 × 2 - 1) × π
    0.811752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55019512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912483215332031 × 2 - 1) × π
    -0.824966430664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.59170847795834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55019512} λ = 2.55019512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59170847795834))-π/2
    2×atan(0.0748919794259643)-π/2
    2×0.074752430488775-π/2
    0.14950486097755-1.57079632675     		φ = -1.42129147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55019512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.115417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42129147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.434003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118735 KachelY 119601 2.55019512 -1.42129147 146.115417 -81.434003
    Oben rechts KachelX + 1 118736 KachelY 119601 2.55024306 -1.42129147 146.118164 -81.434003
    Unten links KachelX 118735 KachelY + 1 119602 2.55019512 -1.42129861 146.115417 -81.434412
    Unten rechts KachelX + 1 118736 KachelY + 1 119602 2.55024306 -1.42129861 146.118164 -81.434412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42129147--1.42129861) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42129147--1.42129861) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55019512-2.55024306) × cos(-1.42129147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148948530894328 × 6371000     		do = 45.4927152702831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55019512-2.55024306) × cos(-1.42129861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148941470537588 × 6371000     		du = 45.4905588556013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42129147)-sin(-1.42129861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148948530894328-0.148941470537588)×R²
    abs(2.55024306-2.55019512)×7.06035673975203e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06035673975203e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06035673975203e-06×40589641000000     		ar = 2069.36634884808m²