Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118734 / 119602
↖ ↑ ↗
← S 81.434412°
E146.112671°		 ← 45.48 m → S 81.434412°
E146.115417°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.434821°
E146.112671°		 ← 45.48 m →
2 069 m²		 S 81.434821°
E146.115417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905872344970703 y=0.912494659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905872344970703 × 217)
    floor (0.905872344970703 × 131072)
    floor (118734.5)     		tx = 118734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912494659423828 × 217)
    floor (0.912494659423828 × 131072)
    floor (119602.5)     		ty = 119602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118734 / 119602 ti = "17/118734/119602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118734/119602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118734 ÷ 217
    118734 ÷ 131072     		x = 0.905868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119602 ÷ 217
    119602 ÷ 131072     		y = 0.912490844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905868530273438 × 2 - 1) × π
    0.811737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55014719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912490844726562 × 2 - 1) × π
    -0.824981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59175641485796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55014719} λ = 2.55014719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59175641485796))-π/2
    2×atan(0.0748883894227117)-π/2
    2×0.074748860507902-π/2
    0.149497721015804-1.57079632675     		φ = -1.42129861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55014719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.112671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42129861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.434412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118734 KachelY 119602 2.55014719 -1.42129861 146.112671 -81.434412
    Oben rechts KachelX + 1 118735 KachelY 119602 2.55019512 -1.42129861 146.115417 -81.434412
    Unten links KachelX 118734 KachelY + 1 119603 2.55014719 -1.42130575 146.112671 -81.434821
    Unten rechts KachelX + 1 118735 KachelY + 1 119603 2.55019512 -1.42130575 146.115417 -81.434821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42129861--1.42130575) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42129861--1.42130575) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55014719-2.55019512) × cos(-1.42129861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148941470537588 × 6371000     		do = 45.481069794571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55014719-2.55019512) × cos(-1.42130575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148934410173256 × 6371000     		du = 45.4789138273859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42129861)-sin(-1.42130575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148941470537588-0.148934410173256)×R²
    abs(2.55019512-2.55014719)×7.06036433251178e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06036433251178e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06036433251178e-06×40589641000000     		ar = 2068.83661861316m²