Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118728 / 118538
↖ ↑ ↗
← S 80.987992°
E146.096191°		 ← 47.84 m → S 80.987992°
E146.098938°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.988422°
E146.096191°		 ← 47.84 m →
2 289 m²		 S 80.988422°
E146.098938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905826568603516 y=0.904376983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905826568603516 × 217)
    floor (0.905826568603516 × 131072)
    floor (118728.5)     		tx = 118728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904376983642578 × 217)
    floor (0.904376983642578 × 131072)
    floor (118538.5)     		ty = 118538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118728 / 118538 ti = "17/118728/118538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118728/118538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118728 ÷ 217
    118728 ÷ 131072     		x = 0.90582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118538 ÷ 217
    118538 ÷ 131072     		y = 0.904373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90582275390625 × 2 - 1) × π
    0.8116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54985956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.808746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54075155366222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54985956} λ = 2.54985956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54075155366222))-π/2
    2×atan(0.0788071497266766)-π/2
    2×0.0786446092885962-π/2
    0.157289218577192-1.57079632675     		φ = -1.41350711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54985956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.096191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41350711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118728 KachelY 118538 2.54985956 -1.41350711 146.096191 -80.987992
    Oben rechts KachelX + 1 118729 KachelY 118538 2.54990750 -1.41350711 146.098938 -80.987992
    Unten links KachelX 118728 KachelY + 1 118539 2.54985956 -1.41351462 146.096191 -80.988422
    Unten rechts KachelX + 1 118729 KachelY + 1 118539 2.54990750 -1.41351462 146.098938 -80.988422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41350711--1.41351462) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41350711--1.41351462) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54985956-2.54990750) × cos(-1.41350711) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156641465390146 × 6371000     		do = 47.8423354818814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54985956-2.54990750) × cos(-1.41351462) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156634048092678 × 6371000     		du = 47.8400700483135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41350711)-sin(-1.41351462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156641465390146-0.156634048092678)×R²
    abs(2.54990750-2.54985956)×7.41729746786546e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.41729746786546e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.41729746786546e-06×40589641000000     		ar = 2289.02023409755m²