Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118728 / 118536
↖ ↑ ↗
← S 80.987131°
E146.096191°		 ← 47.85 m → S 80.987131°
E146.098938°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.987561°
E146.096191°		 ← 47.84 m →
2 289 m²		 S 80.987561°
E146.098938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905826568603516 y=0.904361724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905826568603516 × 217)
    floor (0.905826568603516 × 131072)
    floor (118728.5)     		tx = 118728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904361724853516 × 217)
    floor (0.904361724853516 × 131072)
    floor (118536.5)     		ty = 118536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118728 / 118536 ti = "17/118728/118536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118728/118536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118728 ÷ 217
    118728 ÷ 131072     		x = 0.90582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118536 ÷ 217
    118536 ÷ 131072     		y = 0.90435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90582275390625 × 2 - 1) × π
    0.8116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54985956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54985956} λ = 2.54985956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54065567986298))-π/2
    2×atan(0.078814705629729)-π/2
    2×0.0786521185504045-π/2
    0.157304237100809-1.57079632675     		φ = -1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54985956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.096191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118728 KachelY 118536 2.54985956 -1.41349209 146.096191 -80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 118729 KachelY 118536 2.54990750 -1.41349209 146.098938 -80.987131
    Unten links KachelX 118728 KachelY + 1 118537 2.54985956 -1.41349960 146.096191 -80.987561
    Unten rechts KachelX + 1 118729 KachelY + 1 118537 2.54990750 -1.41349960 146.098938 -80.987561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41349209--1.41349960) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41349209--1.41349960) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54985956-2.54990750) × cos(-1.41349209) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 47.8468663409223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54985956-2.54990750) × cos(-1.41349960) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156648882678779 × 6371000     		du = 47.8446009127511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41349209)-sin(-1.41349960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156648882678779)×R²
    abs(2.54990750-2.54985956)×7.41727979827744e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.41727979827744e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.41727979827744e-06×40589641000000     		ar = 2289.23701863179m²