Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118712 / 120360
↖ ↑ ↗
← S 81.738988°
E146.052246°		 ← 43.88 m → S 81.738988°
E146.054993°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
S 81.739383°
E146.052246°		 ← 43.88 m →
1 926 m²		 S 81.739383°
E146.054993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905704498291016 y=0.918277740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905704498291016 × 217)
    floor (0.905704498291016 × 131072)
    floor (118712.5)     		tx = 118712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918277740478516 × 217)
    floor (0.918277740478516 × 131072)
    floor (120360.5)     		ty = 120360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118712 / 120360 ti = "17/118712/120360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118712/120360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118712 ÷ 217
    118712 ÷ 131072     		x = 0.90570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120360 ÷ 217
    120360 ÷ 131072     		y = 0.91827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90570068359375 × 2 - 1) × π
    0.8114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54909257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.8365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62809258476996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54909257} λ = 2.54909257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62809258476996))-π/2
    2×atan(0.0722160769979192)-π/2
    2×0.0720909288576691-π/2
    0.144181857715338-1.57079632675     		φ = -1.42661447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54909257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42661447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.738988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118712 KachelY 120360 2.54909257 -1.42661447 146.052246 -81.738988
    Oben rechts KachelX + 1 118713 KachelY 120360 2.54914051 -1.42661447 146.054993 -81.738988
    Unten links KachelX 118712 KachelY + 1 120361 2.54909257 -1.42662136 146.052246 -81.739383
    Unten rechts KachelX + 1 118713 KachelY + 1 120361 2.54914051 -1.42662136 146.054993 -81.739383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42661447--1.42662136) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dl = 43.8961899991757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42661447--1.42662136) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dr = 43.8961899991757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54909257-2.54914051) × cos(-1.42661447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14368282390894 × 6371000     		do = 43.8844328176489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54909257-2.54914051) × cos(-1.42662136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143676005397615 × 6371000     		du = 43.8823502687819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42661447)-sin(-1.42662136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14368282390894-0.143676005397615)×R²
    abs(2.54914051-2.54909257)×6.81851132469657e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.81851132469657e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.81851132469657e-06×40589641000000     		ar = 1926.31369296449m²