Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118708 / 120342
↖ ↑ ↗
← S 81.731882°
E146.041260°		 ← 43.91 m → S 81.731882°
E146.044006°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
S 81.732276°
E146.041260°		 ← 43.91 m →
1 928 m²		 S 81.732276°
E146.044006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905673980712891 y=0.918140411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905673980712891 × 217)
    floor (0.905673980712891 × 131072)
    floor (118708.5)     		tx = 118708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918140411376953 × 217)
    floor (0.918140411376953 × 131072)
    floor (120342.5)     		ty = 120342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118708 / 120342 ti = "17/118708/120342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118708/120342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118708 ÷ 217
    118708 ÷ 131072     		x = 0.905670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120342 ÷ 217
    120342 ÷ 131072     		y = 0.918136596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905670166015625 × 2 - 1) × π
    0.81134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54890083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918136596679688 × 2 - 1) × π
    -0.836273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6272297205768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54890083} λ = 2.54890083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6272297205768))-π/2
    2×atan(0.0722784165563498)-π/2
    2×0.0721529447141054-π/2
    0.144305889428211-1.57079632675     		φ = -1.42649044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54890083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42649044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.731882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118708 KachelY 120342 2.54890083 -1.42649044 146.041260 -81.731882
    Oben rechts KachelX + 1 118709 KachelY 120342 2.54894876 -1.42649044 146.044006 -81.731882
    Unten links KachelX 118708 KachelY + 1 120343 2.54890083 -1.42649733 146.041260 -81.732276
    Unten rechts KachelX + 1 118709 KachelY + 1 120343 2.54894876 -1.42649733 146.044006 -81.732276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42649044--1.42649733) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dl = 43.8961899991757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42649044--1.42649733) × R
    6.88999999987061e-06 × 6371000     		dr = 43.8961899991757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54890083-2.54894876) × cos(-1.42649044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		do = 43.9127595108859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54890083-2.54894876) × cos(-1.42649733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143798747453666 × 6371000     		du = 43.9106774339357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42649044)-sin(-1.42649733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143805565842155-0.143798747453666)×R²
    abs(2.54894876-2.54890083)×6.81838848862193e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.81838848862193e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.81838848862193e-06×40589641000000     		ar = 1927.55713713516m²