Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118703 / 120365
↖ ↑ ↗
← S 81.740961°
E146.027527°		 ← 43.87 m → S 81.740961°
E146.030273°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
S 81.741356°
E146.027527°		 ← 43.87 m →
1 926 m²		 S 81.741356°
E146.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905635833740234 y=0.918315887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905635833740234 × 217)
    floor (0.905635833740234 × 131072)
    floor (118703.5)     		tx = 118703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918315887451172 × 217)
    floor (0.918315887451172 × 131072)
    floor (120365.5)     		ty = 120365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118703 / 120365 ti = "17/118703/120365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118703/120365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118703 ÷ 217
    118703 ÷ 131072     		x = 0.905632019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120365 ÷ 217
    120365 ÷ 131072     		y = 0.918312072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905632019042969 × 2 - 1) × π
    0.811264038085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.54866114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918312072753906 × 2 - 1) × π
    -0.836624145507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.62833226926806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54866114} λ = 2.54866114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62833226926806))-π/2
    2×atan(0.0721987699979418)-π/2
    2×0.0720737116268188-π/2
    0.144147423253638-1.57079632675     		φ = -1.42664890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54866114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.027527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42664890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.740961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118703 KachelY 120365 2.54866114 -1.42664890 146.027527 -81.740961
    Oben rechts KachelX + 1 118704 KachelY 120365 2.54870908 -1.42664890 146.030273 -81.740961
    Unten links KachelX 118703 KachelY + 1 120366 2.54866114 -1.42665579 146.027527 -81.741356
    Unten rechts KachelX + 1 118704 KachelY + 1 120366 2.54870908 -1.42665579 146.030273 -81.741356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42664890--1.42665579) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42664890--1.42665579) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54866114-2.54870908) × cos(-1.42664890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143648751076688 × 6371000     		do = 43.8740260976444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54866114-2.54870908) × cos(-1.42665579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143641932531283 × 6371000     		du = 43.8719435383684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42664890)-sin(-1.42665579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143648751076688-0.143641932531283)×R²
    abs(2.54870908-2.54866114)×6.81854540487969e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.81854540487969e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.81854540487969e-06×40589641000000     		ar = 1925.8568774845m²