Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118700 / 120293
↖ ↑ ↗
← S 81.712505°
E146.019287°		 ← 44.02 m → S 81.712505°
E146.022034°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
S 81.712901°
E146.019287°		 ← 44.02 m →
1 938 m²		 S 81.712901°
E146.022034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905612945556641 y=0.917766571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905612945556641 × 217)
    floor (0.905612945556641 × 131072)
    floor (118700.5)     		tx = 118700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917766571044922 × 217)
    floor (0.917766571044922 × 131072)
    floor (120293.5)     		ty = 120293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118700 / 120293 ti = "17/118700/120293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118700/120293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118700 ÷ 217
    118700 ÷ 131072     		x = 0.905609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120293 ÷ 217
    120293 ÷ 131072     		y = 0.917762756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.81121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54851733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917762756347656 × 2 - 1) × π
    -0.835525512695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.62488081249541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54851733} λ = 2.54851733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62488081249541))-π/2
    2×atan(0.0724483914626729)-π/2
    2×0.0723220341893775-π/2
    0.144644068378755-1.57079632675     		φ = -1.42615226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54851733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42615226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.712505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118700 KachelY 120293 2.54851733 -1.42615226 146.019287 -81.712505
    Oben rechts KachelX + 1 118701 KachelY 120293 2.54856527 -1.42615226 146.022034 -81.712505
    Unten links KachelX 118700 KachelY + 1 120294 2.54851733 -1.42615917 146.019287 -81.712901
    Unten rechts KachelX + 1 118701 KachelY + 1 120294 2.54856527 -1.42615917 146.022034 -81.712901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42615226--1.42615917) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42615226--1.42615917) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54851733-2.54856527) × cos(-1.42615226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144140222556656 × 6371000     		do = 44.0241341381026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54851733-2.54856527) × cos(-1.42615917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14413338471246 × 6371000     		du = 44.0220456844789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42615226)-sin(-1.42615917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144140222556656-0.14413338471246)×R²
    abs(2.54856527-2.54851733)×6.83784419647226e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.83784419647226e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.83784419647226e-06×40589641000000     		ar = 1938.05534124515m²