Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118698 / 120282
↖ ↑ ↗
← S 81.708149°
E146.013794°		 ← 44.04 m → S 81.708149°
E146.016540°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.708546°
E146.013794°		 ← 44.04 m →
1 941 m²		 S 81.708546°
E146.016540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905597686767578 y=0.917682647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905597686767578 × 217)
    floor (0.905597686767578 × 131072)
    floor (118698.5)     		tx = 118698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917682647705078 × 217)
    floor (0.917682647705078 × 131072)
    floor (120282.5)     		ty = 120282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118698 / 120282 ti = "17/118698/120282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118698/120282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118698 ÷ 217
    118698 ÷ 131072     		x = 0.905593872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120282 ÷ 217
    120282 ÷ 131072     		y = 0.917678833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905593872070312 × 2 - 1) × π
    0.811187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54842146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917678833007812 × 2 - 1) × π
    -0.835357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62435350659959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54842146} λ = 2.54842146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62435350659959))-π/2
    2×atan(0.0724866040005968)-π/2
    2×0.0723600471010381-π/2
    0.144720094202076-1.57079632675     		φ = -1.42607623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54842146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.013794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42607623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.708149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118698 KachelY 120282 2.54842146 -1.42607623 146.013794 -81.708149
    Oben rechts KachelX + 1 118699 KachelY 120282 2.54846939 -1.42607623 146.016540 -81.708149
    Unten links KachelX 118698 KachelY + 1 120283 2.54842146 -1.42608315 146.013794 -81.708546
    Unten rechts KachelX + 1 118699 KachelY + 1 120283 2.54846939 -1.42608315 146.016540 -81.708546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42607623--1.42608315) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42607623--1.42608315) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54842146-2.54846939) × cos(-1.42607623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144215458179433 × 6371000     		do = 44.0379250670786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54842146-2.54846939) × cos(-1.42608315) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144208610515508 × 6371000     		du = 44.0358340505217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42607623)-sin(-1.42608315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144215458179433-0.144208610515508)×R²
    abs(2.54846939-2.54842146)×6.84766392500258e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.84766392500258e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.84766392500258e-06×40589641000000     		ar = 1941.46800094688m²