Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118697 / 120296
↖ ↑ ↗
← S 81.713693°
E146.011047°		 ← 44.02 m → S 81.713693°
E146.013794°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.714089°
E146.011047°		 ← 44.02 m →
1 935 m²		 S 81.714089°
E146.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905590057373047 y=0.917789459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905590057373047 × 217)
    floor (0.905590057373047 × 131072)
    floor (118697.5)     		tx = 118697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917789459228516 × 217)
    floor (0.917789459228516 × 131072)
    floor (120296.5)     		ty = 120296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118697 / 120296 ti = "17/118697/120296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118697/120296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118697 ÷ 217
    118697 ÷ 131072     		x = 0.905586242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120296 ÷ 217
    120296 ÷ 131072     		y = 0.91778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905586242675781 × 2 - 1) × π
    0.811172485351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.54837352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54837352} λ = 2.54837352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62502462319428))-π/2
    2×atan(0.0724379733580008)-π/2
    2×0.0723116704736377-π/2
    0.144623340947275-1.57079632675     		φ = -1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54837352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.011047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118697 KachelY 120296 2.54837352 -1.42617299 146.011047 -81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 118698 KachelY 120296 2.54842146 -1.42617299 146.013794 -81.713693
    Unten links KachelX 118697 KachelY + 1 120297 2.54837352 -1.42617989 146.011047 -81.714089
    Unten rechts KachelX + 1 118698 KachelY + 1 120297 2.54842146 -1.42617989 146.013794 -81.714089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42617299--1.42617989) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42617299--1.42617989) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54837352-2.54842146) × cos(-1.42617299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 44.0178687709256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54837352-2.54842146) × cos(-1.42617989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144112881034192 × 6371000     		du = 44.0157833333711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42617299)-sin(-1.42617989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.144112881034192)×R²
    abs(2.54842146-2.54837352)×6.82796922929496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82796922929496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82796922929496e-06×40589641000000     		ar = 1934.97527154455m²