Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118697 / 120279
↖ ↑ ↗
← S 81.706961°
E146.011047°		 ← 44.05 m → S 81.706961°
E146.013794°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.707357°
E146.011047°		 ← 44.05 m →
1 942 m²		 S 81.707357°
E146.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905590057373047 y=0.917659759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905590057373047 × 217)
    floor (0.905590057373047 × 131072)
    floor (118697.5)     		tx = 118697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917659759521484 × 217)
    floor (0.917659759521484 × 131072)
    floor (120279.5)     		ty = 120279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118697 / 120279 ti = "17/118697/120279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118697/120279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118697 ÷ 217
    118697 ÷ 131072     		x = 0.905586242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120279 ÷ 217
    120279 ÷ 131072     		y = 0.917655944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905586242675781 × 2 - 1) × π
    0.811172485351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.54837352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917655944824219 × 2 - 1) × π
    -0.835311889648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.62420969590073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54837352} λ = 2.54837352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62420969590073))-π/2
    2×atan(0.0724970290993785)-π/2
    2×0.0723704177016553-π/2
    0.144740835403311-1.57079632675     		φ = -1.42605549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54837352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.011047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42605549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.706961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118697 KachelY 120279 2.54837352 -1.42605549 146.011047 -81.706961
    Oben rechts KachelX + 1 118698 KachelY 120279 2.54842146 -1.42605549 146.013794 -81.706961
    Unten links KachelX 118697 KachelY + 1 120280 2.54837352 -1.42606241 146.011047 -81.707357
    Unten rechts KachelX + 1 118698 KachelY + 1 120280 2.54842146 -1.42606241 146.013794 -81.707357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42605549--1.42606241) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42605549--1.42606241) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54837352-2.54842146) × cos(-1.42605549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144235981338905 × 6371000     		do = 44.0533813350322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54837352-2.54842146) × cos(-1.42606241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144229133695678 × 6371000     		du = 44.0512898885326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42605549)-sin(-1.42606241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144235981338905-0.144229133695678)×R²
    abs(2.54842146-2.54837352)×6.84764322608777e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84764322608777e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84764322608777e-06×40589641000000     		ar = 1942.14941680191m²