Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118696 / 120311
↖ ↑ ↗
← S 81.719628°
E146.008301°		 ← 43.99 m → S 81.719628°
E146.011047°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.720024°
E146.008301°		 ← 43.98 m →
1 934 m²		 S 81.720024°
E146.011047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905582427978516 y=0.917903900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905582427978516 × 217)
    floor (0.905582427978516 × 131072)
    floor (118696.5)     		tx = 118696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917903900146484 × 217)
    floor (0.917903900146484 × 131072)
    floor (120311.5)     		ty = 120311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118696 / 120311 ti = "17/118696/120311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118696/120311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118696 ÷ 217
    118696 ÷ 131072     		x = 0.90557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120311 ÷ 217
    120311 ÷ 131072     		y = 0.917900085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54832558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917900085449219 × 2 - 1) × π
    -0.835800170898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.62574367668858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54832558} λ = 2.54832558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62574367668858))-π/2
    2×atan(0.0723859053022398)-π/2
    2×0.0722598740120625-π/2
    0.144519748024125-1.57079632675     		φ = -1.42627658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54832558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42627658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.719628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118696 KachelY 120311 2.54832558 -1.42627658 146.008301 -81.719628
    Oben rechts KachelX + 1 118697 KachelY 120311 2.54837352 -1.42627658 146.011047 -81.719628
    Unten links KachelX 118696 KachelY + 1 120312 2.54832558 -1.42628348 146.008301 -81.720024
    Unten rechts KachelX + 1 118697 KachelY + 1 120312 2.54837352 -1.42628348 146.011047 -81.720024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42627658--1.42628348) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42627658--1.42628348) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54832558-2.54837352) × cos(-1.42627658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144017199682936 × 6371000     		do = 43.9865597858598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54832558-2.54837352) × cos(-1.42628348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144010371610734 × 6371000     		du = 43.9844743168545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42627658)-sin(-1.42628348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144017199682936-0.144010371610734)×R²
    abs(2.54837352-2.54832558)×6.82807220281356e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82807220281356e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82807220281356e-06×40589641000000     		ar = 1933.59893103046m²