Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118694 / 119717
↖ ↑ ↗
← S 81.481328°
E146.002808°		 ← 45.24 m → S 81.481328°
E146.005554°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
S 81.481735°
E146.002808°		 ← 45.24 m →
2 046 m²		 S 81.481735°
E146.005554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905567169189453 y=0.913372039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905567169189453 × 217)
    floor (0.905567169189453 × 131072)
    floor (118694.5)     		tx = 118694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913372039794922 × 217)
    floor (0.913372039794922 × 131072)
    floor (119717.5)     		ty = 119717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118694 / 119717 ti = "17/118694/119717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118694/119717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118694 ÷ 217
    118694 ÷ 131072     		x = 0.905563354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119717 ÷ 217
    119717 ÷ 131072     		y = 0.913368225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905563354492188 × 2 - 1) × π
    0.811126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54822971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913368225097656 × 2 - 1) × π
    -0.826736450195312 × 3.1415926535     		Φ = -2.59726915831426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54822971} λ = 2.54822971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59726915831426))-π/2
    2×atan(0.0744766847976104)-π/2
    2×0.0743394394268988-π/2
    0.148678878853798-1.57079632675     		φ = -1.42211745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54822971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.002808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42211745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.481328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118694 KachelY 119717 2.54822971 -1.42211745 146.002808 -81.481328
    Oben rechts KachelX + 1 118695 KachelY 119717 2.54827765 -1.42211745 146.005554 -81.481328
    Unten links KachelX 118694 KachelY + 1 119718 2.54822971 -1.42212455 146.002808 -81.481735
    Unten rechts KachelX + 1 118695 KachelY + 1 119718 2.54827765 -1.42212455 146.005554 -81.481735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42211745--1.42212455) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42211745--1.42212455) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54822971-2.54827765) × cos(-1.42211745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148131714025857 × 6371000     		do = 45.2432383737861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54822971-2.54827765) × cos(-1.42212455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148124692351871 × 6371000     		du = 45.2410937738129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42211745)-sin(-1.42212455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148131714025857-0.148124692351871)×R²
    abs(2.54827765-2.54822971)×7.02167398589082e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.02167398589082e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.02167398589082e-06×40589641000000     		ar = 2046.48866445958m²