Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118688 / 120287
↖ ↑ ↗
← S 81.710129°
E145.986328°		 ← 44.04 m → S 81.710129°
E145.989075°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.710526°
E145.986328°		 ← 44.03 m →
1 941 m²		 S 81.710526°
E145.989075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905521392822266 y=0.917720794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905521392822266 × 217)
    floor (0.905521392822266 × 131072)
    floor (118688.5)     		tx = 118688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917720794677734 × 217)
    floor (0.917720794677734 × 131072)
    floor (120287.5)     		ty = 120287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118688 / 120287 ti = "17/118688/120287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118688/120287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118688 ÷ 217
    118688 ÷ 131072     		x = 0.905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120287 ÷ 217
    120287 ÷ 131072     		y = 0.917716979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905517578125 × 2 - 1) × π
    0.81103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54794209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917716979980469 × 2 - 1) × π
    -0.835433959960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.62459319109769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54794209} λ = 2.54794209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62459319109769))-π/2
    2×atan(0.0724692321672606)-π/2
    2×0.0723427660459249-π/2
    0.14468553209185-1.57079632675     		φ = -1.42611079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54794209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42611079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.710129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118688 KachelY 120287 2.54794209 -1.42611079 145.986328 -81.710129
    Oben rechts KachelX + 1 118689 KachelY 120287 2.54799003 -1.42611079 145.989075 -81.710129
    Unten links KachelX 118688 KachelY + 1 120288 2.54794209 -1.42611771 145.986328 -81.710526
    Unten rechts KachelX + 1 118689 KachelY + 1 120288 2.54799003 -1.42611771 145.989075 -81.710526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42611079--1.42611771) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42611079--1.42611771) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54794209-2.54799003) × cos(-1.42611079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144181259372806 × 6371000     		do = 44.0366678380424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54794209-2.54799003) × cos(-1.42611771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144174411674396 × 6371000     		du = 44.0345763746882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42611079)-sin(-1.42611771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144181259372806-0.144174411674396)×R²
    abs(2.54799003-2.54794209)×6.84769840997301e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84769840997301e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84769840997301e-06×40589641000000     		ar = 1941.41256334624m²