Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118685 / 120305
↖ ↑ ↗
← S 81.717255°
E145.978088°		 ← 43.99 m → S 81.717255°
E145.980835°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
S 81.717651°
E145.978088°		 ← 43.99 m →
1 937 m²		 S 81.717651°
E145.980835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905498504638672 y=0.917858123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905498504638672 × 217)
    floor (0.905498504638672 × 131072)
    floor (118685.5)     		tx = 118685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917858123779297 × 217)
    floor (0.917858123779297 × 131072)
    floor (120305.5)     		ty = 120305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118685 / 120305 ti = "17/118685/120305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118685/120305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118685 ÷ 217
    118685 ÷ 131072     		x = 0.905494689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120305 ÷ 217
    120305 ÷ 131072     		y = 0.917854309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905494689941406 × 2 - 1) × π
    0.810989379882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.54779828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917854309082031 × 2 - 1) × π
    -0.835708618164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.62545605529086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54779828} λ = 2.54779828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62545605529086))-π/2
    2×atan(0.0724067280318858)-π/2
    2×0.0722805881740895-π/2
    0.144561176348179-1.57079632675     		φ = -1.42623515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54779828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.978088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42623515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.717255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118685 KachelY 120305 2.54779828 -1.42623515 145.978088 -81.717255
    Oben rechts KachelX + 1 118686 KachelY 120305 2.54784621 -1.42623515 145.980835 -81.717255
    Unten links KachelX 118685 KachelY + 1 120306 2.54779828 -1.42624206 145.978088 -81.717651
    Unten rechts KachelX + 1 118686 KachelY + 1 120306 2.54784621 -1.42624206 145.980835 -81.717651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42623515--1.42624206) × R
    6.91000000019315e-06 × 6371000     		dl = 44.0236100012306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42623515--1.42624206) × R
    6.91000000019315e-06 × 6371000     		dr = 44.0236100012306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54779828-2.54784621) × cos(-1.42623515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144058197659228 × 6371000     		do = 43.9899036753902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54779828-2.54784621) × cos(-1.42624206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144051359732498 × 6371000     		du = 43.9878156322028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42623515)-sin(-1.42624206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144058197659228-0.144051359732498)×R²
    abs(2.54784621-2.54779828)×6.83792673045192e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.83792673045192e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.83792673045192e-06×40589641000000     		ar = 1936.5484018297m²