Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118684 / 120303
↖ ↑ ↗
← S 81.716463°
E145.975342°		 ← 44 m → S 81.716463°
E145.978088°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.716859°
E145.975342°		 ← 44 m →
1 934 m²		 S 81.716859°
E145.978088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905490875244141 y=0.917842864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905490875244141 × 217)
    floor (0.905490875244141 × 131072)
    floor (118684.5)     		tx = 118684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917842864990234 × 217)
    floor (0.917842864990234 × 131072)
    floor (120303.5)     		ty = 120303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118684 / 120303 ti = "17/118684/120303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118684/120303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118684 ÷ 217
    118684 ÷ 131072     		x = 0.905487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120303 ÷ 217
    120303 ÷ 131072     		y = 0.917839050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905487060546875 × 2 - 1) × π
    0.81097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54775034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917839050292969 × 2 - 1) × π
    -0.835678100585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.62536018149162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54775034} λ = 2.54775034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62536018149162))-π/2
    2×atan(0.072413670272777)-π/2
    2×0.0722874942050241-π/2
    0.144574988410048-1.57079632675     		φ = -1.42622134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54775034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42622134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.716463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118684 KachelY 120303 2.54775034 -1.42622134 145.975342 -81.716463
    Oben rechts KachelX + 1 118685 KachelY 120303 2.54779828 -1.42622134 145.978088 -81.716463
    Unten links KachelX 118684 KachelY + 1 120304 2.54775034 -1.42622824 145.975342 -81.716859
    Unten rechts KachelX + 1 118685 KachelY + 1 120304 2.54779828 -1.42622824 145.978088 -81.716859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42622134--1.42622824) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42622134--1.42622824) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54775034-2.54779828) × cos(-1.42622134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144071863596381 × 6371000     		do = 44.0032555520748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54775034-2.54779828) × cos(-1.42622824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14406503557908 × 6371000     		du = 44.001170099838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42622134)-sin(-1.42622824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144071863596381-0.14406503557908)×R²
    abs(2.54779828-2.54775034)×6.82801730067517e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82801730067517e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82801730067517e-06×40589641000000     		ar = 1934.33287557919m²