Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118682 / 120316
↖ ↑ ↗
← S 81.721606°
E145.969849°		 ← 43.97 m → S 81.721606°
E145.972595°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
S 81.722002°
E145.969849°		 ← 43.96 m →
1 936 m²		 S 81.722002°
E145.972595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905475616455078 y=0.917942047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905475616455078 × 217)
    floor (0.905475616455078 × 131072)
    floor (118682.5)     		tx = 118682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917942047119141 × 217)
    floor (0.917942047119141 × 131072)
    floor (120316.5)     		ty = 120316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118682 / 120316 ti = "17/118682/120316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118682/120316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118682 ÷ 217
    118682 ÷ 131072     		x = 0.905471801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120316 ÷ 217
    120316 ÷ 131072     		y = 0.917938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905471801757812 × 2 - 1) × π
    0.810943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54765447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54765447} λ = 2.54765447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62598336118668))-π/2
    2×atan(0.0723685576019284)-π/2
    2×0.0722426167134826-π/2
    0.144485233426965-1.57079632675     		φ = -1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54765447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.969849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118682 KachelY 120316 2.54765447 -1.42631109 145.969849 -81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 118683 KachelY 120316 2.54770240 -1.42631109 145.972595 -81.721606
    Unten links KachelX 118682 KachelY + 1 120317 2.54765447 -1.42631800 145.969849 -81.722002
    Unten rechts KachelX + 1 118683 KachelY + 1 120317 2.54770240 -1.42631800 145.972595 -81.722002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42631109--1.42631800) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42631109--1.42631800) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54765447-2.54770240) × cos(-1.42631109) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 43.9669562374419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54765447-2.54770240) × cos(-1.42631800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143976211355258 × 6371000     		du = 43.9648681711776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42631109)-sin(-1.42631800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.143976211355258)×R²
    abs(2.54770240-2.54765447)×6.8380023025838e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.8380023025838e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.8380023025838e-06×40589641000000     		ar = 1935.53817218175m²