Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118680 / 118648
↖ ↑ ↗
← S 81.035194°
E145.964355°		 ← 47.59 m → S 81.035194°
E145.967102°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.035622°
E145.964355°		 ← 47.59 m →
2 265 m²		 S 81.035622°
E145.967102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905460357666016 y=0.905216217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905460357666016 × 217)
    floor (0.905460357666016 × 131072)
    floor (118680.5)     		tx = 118680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905216217041016 × 217)
    floor (0.905216217041016 × 131072)
    floor (118648.5)     		ty = 118648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118680 / 118648 ti = "17/118680/118648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118680/118648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118680 ÷ 217
    118680 ÷ 131072     		x = 0.90545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118648 ÷ 217
    118648 ÷ 131072     		y = 0.90521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    0.8109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54755859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.8104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54602461262042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54755859} λ = 2.54755859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54602461262042))-π/2
    2×atan(0.0783926886789555)-π/2
    2×0.0782326930434805-π/2
    0.156465386086961-1.57079632675     		φ = -1.41433094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54755859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41433094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.035194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118680 KachelY 118648 2.54755859 -1.41433094 145.964355 -81.035194
    Oben rechts KachelX + 1 118681 KachelY 118648 2.54760653 -1.41433094 145.967102 -81.035194
    Unten links KachelX 118680 KachelY + 1 118649 2.54755859 -1.41433841 145.964355 -81.035622
    Unten rechts KachelX + 1 118681 KachelY + 1 118649 2.54760653 -1.41433841 145.967102 -81.035622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41433094--1.41433841) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dl = 47.5913700007673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41433094--1.41433841) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dr = 47.5913700007673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54755859-2.54760653) × cos(-1.41433094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155827752068705 × 6371000     		do = 47.5938064880895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54755859-2.54760653) × cos(-1.41433841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155820373316058 × 6371000     		du = 47.5915528271022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41433094)-sin(-1.41433841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155827752068705-0.155820373316058)×R²
    abs(2.54760653-2.54755859)×7.37875264658627e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37875264658627e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37875264658627e-06×40589641000000     		ar = 2265.00082693857m²