Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118679 / 120313
↖ ↑ ↗
← S 81.720420°
E145.961609°		 ← 43.97 m → S 81.720420°
E145.964355°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.720815°
E145.961609°		 ← 43.97 m →
1 933 m²		 S 81.720815°
E145.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905452728271484 y=0.917919158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905452728271484 × 217)
    floor (0.905452728271484 × 131072)
    floor (118679.5)     		tx = 118679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917919158935547 × 217)
    floor (0.917919158935547 × 131072)
    floor (120313.5)     		ty = 120313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118679 / 120313 ti = "17/118679/120313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118679/120313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118679 ÷ 217
    118679 ÷ 131072     		x = 0.905448913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120313 ÷ 217
    120313 ÷ 131072     		y = 0.917915344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905448913574219 × 2 - 1) × π
    0.810897827148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.54751066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.835830688476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.62583955048782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54751066} λ = 2.54751066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62583955048782))-π/2
    2×atan(0.0723789657231542)-π/2
    2×0.0722529706014431-π/2
    0.144505941202886-1.57079632675     		φ = -1.42629039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54751066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.961609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42629039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.720420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118679 KachelY 120313 2.54751066 -1.42629039 145.961609 -81.720420
    Oben rechts KachelX + 1 118680 KachelY 120313 2.54755859 -1.42629039 145.964355 -81.720420
    Unten links KachelX 118679 KachelY + 1 120314 2.54751066 -1.42629729 145.961609 -81.720815
    Unten rechts KachelX + 1 118680 KachelY + 1 120314 2.54755859 -1.42629729 145.964355 -81.720815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42629039--1.42629729) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42629039--1.42629729) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54751066-2.54755859) × cos(-1.42629039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144003533635903 × 6371000     		do = 43.9732113582595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54751066-2.54755859) × cos(-1.42629729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143996705549978 × 6371000     		du = 43.9711263200804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42629039)-sin(-1.42629729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144003533635903-0.143996705549978)×R²
    abs(2.54755859-2.54751066)×6.82808592508688e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.82808592508688e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.82808592508688e-06×40589641000000     		ar = 1933.01214491566m²