Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118678 / 120315
↖ ↑ ↗
← S 81.721210°
E145.958862°		 ← 43.98 m → S 81.721210°
E145.961609°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.721606°
E145.958862°		 ← 43.98 m →
1 933 m²		 S 81.721606°
E145.961609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905445098876953 y=0.917934417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905445098876953 × 217)
    floor (0.905445098876953 × 131072)
    floor (118678.5)     		tx = 118678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917934417724609 × 217)
    floor (0.917934417724609 × 131072)
    floor (120315.5)     		ty = 120315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118678 / 120315 ti = "17/118678/120315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118678/120315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118678 ÷ 217
    118678 ÷ 131072     		x = 0.905441284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120315 ÷ 217
    120315 ÷ 131072     		y = 0.917930603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905441284179688 × 2 - 1) × π
    0.810882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54746272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917930603027344 × 2 - 1) × π
    -0.835861206054688 × 3.1415926535     		Φ = -2.62593542428706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54746272} λ = 2.54746272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62593542428706))-π/2
    2×atan(0.0723720268093606)-π/2
    2×0.0722460678457504-π/2
    0.144492135691501-1.57079632675     		φ = -1.42630419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54746272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.958862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42630419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.721210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118678 KachelY 120315 2.54746272 -1.42630419 145.958862 -81.721210
    Oben rechts KachelX + 1 118679 KachelY 120315 2.54751066 -1.42630419 145.961609 -81.721210
    Unten links KachelX 118678 KachelY + 1 120316 2.54746272 -1.42631109 145.958862 -81.721606
    Unten rechts KachelX + 1 118679 KachelY + 1 120316 2.54751066 -1.42631109 145.961609 -81.721606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42630419--1.42631109) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42630419--1.42631109) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54746272-2.54751066) × cos(-1.42630419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143989877457197 × 6371000     		do = 43.9782148748449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54746272-2.54751066) × cos(-1.42631109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		du = 43.9761293974607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42630419)-sin(-1.42631109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143989877457197-0.143983049357561)×R²
    abs(2.54751066-2.54746272)×6.82809963614694e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82809963614694e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82809963614694e-06×40589641000000     		ar = 1933.23208924104m²