Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118672 / 120304
↖ ↑ ↗
← S 81.716859°
E145.942383°		 ← 44 m → S 81.716859°
E145.945130°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
S 81.717255°
E145.942383°		 ← 44 m →
1 937 m²		 S 81.717255°
E145.945130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905399322509766 y=0.917850494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905399322509766 × 217)
    floor (0.905399322509766 × 131072)
    floor (118672.5)     		tx = 118672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917850494384766 × 217)
    floor (0.917850494384766 × 131072)
    floor (120304.5)     		ty = 120304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118672 / 120304 ti = "17/118672/120304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118672/120304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118672 ÷ 217
    118672 ÷ 131072     		x = 0.9053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120304 ÷ 217
    120304 ÷ 131072     		y = 0.9178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9053955078125 × 2 - 1) × π
    0.810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54717510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62540811839124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54717510} λ = 2.54717510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62540811839124))-π/2
    2×atan(0.072410199069134)-π/2
    2×0.0722840411076567-π/2
    0.144568082215313-1.57079632675     		φ = -1.42622824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54717510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42622824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.716859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118672 KachelY 120304 2.54717510 -1.42622824 145.942383 -81.716859
    Oben rechts KachelX + 1 118673 KachelY 120304 2.54722304 -1.42622824 145.945130 -81.716859
    Unten links KachelX 118672 KachelY + 1 120305 2.54717510 -1.42623515 145.942383 -81.717255
    Unten rechts KachelX + 1 118673 KachelY + 1 120305 2.54722304 -1.42623515 145.945130 -81.717255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42622824--1.42623515) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42622824--1.42623515) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54717510-2.54722304) × cos(-1.42622824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14406503557908 × 6371000     		do = 44.001170099838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54717510-2.54722304) × cos(-1.42623515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144058197659228 × 6371000     		du = 43.9990816231073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42622824)-sin(-1.42623515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14406503557908-0.144058197659228)×R²
    abs(2.54722304-2.54717510)×6.83791985170434e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.83791985170434e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.83791985170434e-06×40589641000000     		ar = 1937.04438082985m²