Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118671 / 120341
↖ ↑ ↗
← S 81.731486°
E145.939636°		 ← 43.92 m → S 81.731486°
E145.942383°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
S 81.731882°
E145.939636°		 ← 43.92 m →
1 931 m²		 S 81.731882°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905391693115234 y=0.918132781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905391693115234 × 217)
    floor (0.905391693115234 × 131072)
    floor (118671.5)     		tx = 118671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918132781982422 × 217)
    floor (0.918132781982422 × 131072)
    floor (120341.5)     		ty = 120341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118671 / 120341 ti = "17/118671/120341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118671/120341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118671 ÷ 217
    118671 ÷ 131072     		x = 0.905387878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120341 ÷ 217
    120341 ÷ 131072     		y = 0.918128967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905387878417969 × 2 - 1) × π
    0.810775756835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.54712716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918128967285156 × 2 - 1) × π
    -0.836257934570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.62718178367718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54712716} λ = 2.54712716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62718178367718))-π/2
    2×atan(0.0722818814425962)-π/2
    2×0.0721563915924121-π/2
    0.144312783184824-1.57079632675     		φ = -1.42648354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54712716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.939636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42648354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.731486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118671 KachelY 120341 2.54712716 -1.42648354 145.939636 -81.731486
    Oben rechts KachelX + 1 118672 KachelY 120341 2.54717510 -1.42648354 145.942383 -81.731486
    Unten links KachelX 118671 KachelY + 1 120342 2.54712716 -1.42649044 145.939636 -81.731882
    Unten rechts KachelX + 1 118672 KachelY + 1 120342 2.54717510 -1.42649044 145.942383 -81.731882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42648354--1.42649044) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42648354--1.42649044) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54712716-2.54717510) × cos(-1.42648354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143812394119866 × 6371000     		do = 43.9240068952031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54712716-2.54717510) × cos(-1.42649044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		du = 43.92192136343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42648354)-sin(-1.42649044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143812394119866-0.143805565842155)×R²
    abs(2.54717510-2.54712716)×6.82827771170125e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82827771170125e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82827771170125e-06×40589641000000     		ar = 1930.84911094951m²