Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118667 / 118665
↖ ↑ ↗
← S 81.042467°
E145.928650°		 ← 47.56 m → S 81.042467°
E145.931396°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.042894°
E145.928650°		 ← 47.55 m →
2 260 m²		 S 81.042894°
E145.931396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905361175537109 y=0.905345916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905361175537109 × 217)
    floor (0.905361175537109 × 131072)
    floor (118667.5)     		tx = 118667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905345916748047 × 217)
    floor (0.905345916748047 × 131072)
    floor (118665.5)     		ty = 118665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118667 / 118665 ti = "17/118667/118665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118667/118665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118667 ÷ 217
    118667 ÷ 131072     		x = 0.905357360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118665 ÷ 217
    118665 ÷ 131072     		y = 0.905342102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905357360839844 × 2 - 1) × π
    0.810714721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.54693541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905342102050781 × 2 - 1) × π
    -0.810684204101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.54683953991396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54693541} λ = 2.54693541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54683953991396))-π/2
    2×atan(0.0783288303608142)-π/2
    2×0.078169224448469-π/2
    0.156338448896938-1.57079632675     		φ = -1.41445788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54693541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.928650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41445788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.042467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118667 KachelY 118665 2.54693541 -1.41445788 145.928650 -81.042467
    Oben rechts KachelX + 1 118668 KachelY 118665 2.54698335 -1.41445788 145.931396 -81.042467
    Unten links KachelX 118667 KachelY + 1 118666 2.54693541 -1.41446534 145.928650 -81.042894
    Unten rechts KachelX + 1 118668 KachelY + 1 118666 2.54698335 -1.41446534 145.931396 -81.042894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41445788--1.41446534) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41445788--1.41446534) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54693541-2.54698335) × cos(-1.41445788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155702361481687 × 6371000     		do = 47.5555089752607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54693541-2.54698335) × cos(-1.41446534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155694992459393 × 6371000     		du = 47.5532582861734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41445788)-sin(-1.41446534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155702361481687-0.155694992459393)×R²
    abs(2.54698335-2.54693541)×7.36902229409031e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36902229409031e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36902229409031e-06×40589641000000     		ar = 2260.14857681568m²