Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118666 / 120267
↖ ↑ ↗
← S 81.702206°
E145.925904°		 ← 44.07 m → S 81.702206°
E145.928650°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.702602°
E145.925904°		 ← 44.07 m →
1 943 m²		 S 81.702602°
E145.928650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905353546142578 y=0.917568206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905353546142578 × 217)
    floor (0.905353546142578 × 131072)
    floor (118666.5)     		tx = 118666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917568206787109 × 217)
    floor (0.917568206787109 × 131072)
    floor (120267.5)     		ty = 120267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118666 / 120267 ti = "17/118666/120267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118666/120267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118666 ÷ 217
    118666 ÷ 131072     		x = 0.905349731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120267 ÷ 217
    120267 ÷ 131072     		y = 0.917564392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905349731445312 × 2 - 1) × π
    0.810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54688748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917564392089844 × 2 - 1) × π
    -0.835128784179688 × 3.1415926535     		Φ = -2.62363445310529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54688748} λ = 2.54688748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62363445310529))-π/2
    2×atan(0.0725387444901474)-π/2
    2×0.0724119148653122-π/2
    0.144823829730624-1.57079632675     		φ = -1.42597250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54688748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.925904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42597250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.702206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118666 KachelY 120267 2.54688748 -1.42597250 145.925904 -81.702206
    Oben rechts KachelX + 1 118667 KachelY 120267 2.54693541 -1.42597250 145.928650 -81.702206
    Unten links KachelX 118666 KachelY + 1 120268 2.54688748 -1.42597942 145.925904 -81.702602
    Unten rechts KachelX + 1 118667 KachelY + 1 120268 2.54693541 -1.42597942 145.928650 -81.702602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42597250--1.42597942) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42597250--1.42597942) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54688748-2.54693541) × cos(-1.42597250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144318103042216 × 6371000     		do = 44.0692689107473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54688748-2.54693541) × cos(-1.42597942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144311255481845 × 6371000     		du = 44.0671779258118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42597250)-sin(-1.42597942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144318103042216-0.144311255481845)×R²
    abs(2.54693541-2.54688748)×6.84756037108714e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.84756037108714e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.84756037108714e-06×40589641000000     		ar = 1942.84986750898m²