Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118665 / 120265
↖ ↑ ↗
← S 81.701413°
E145.923157°		 ← 44.08 m → S 81.701413°
E145.925904°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
S 81.701809°
E145.923157°		 ← 44.08 m →
1 943 m²		 S 81.701809°
E145.925904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905345916748047 y=0.917552947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905345916748047 × 217)
    floor (0.905345916748047 × 131072)
    floor (118665.5)     		tx = 118665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917552947998047 × 217)
    floor (0.917552947998047 × 131072)
    floor (120265.5)     		ty = 120265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118665 / 120265 ti = "17/118665/120265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118665/120265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118665 ÷ 217
    118665 ÷ 131072     		x = 0.905342102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120265 ÷ 217
    120265 ÷ 131072     		y = 0.917549133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905342102050781 × 2 - 1) × π
    0.810684204101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.54683954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917549133300781 × 2 - 1) × π
    -0.835098266601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.62353857930605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54683954} λ = 2.54683954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62353857930605))-π/2
    2×atan(0.0725456993885647)-π/2
    2×0.072418833356044-π/2
    0.144837666712088-1.57079632675     		φ = -1.42595866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54683954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.923157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42595866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.701413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118665 KachelY 120265 2.54683954 -1.42595866 145.923157 -81.701413
    Oben rechts KachelX + 1 118666 KachelY 120265 2.54688748 -1.42595866 145.925904 -81.701413
    Unten links KachelX 118665 KachelY + 1 120266 2.54683954 -1.42596558 145.923157 -81.701809
    Unten rechts KachelX + 1 118666 KachelY + 1 120266 2.54688748 -1.42596558 145.925904 -81.701809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42595866--1.42596558) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42595866--1.42596558) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54683954-2.54688748) × cos(-1.42595866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144331798142226 × 6371000     		do = 44.082646253091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54683954-2.54688748) × cos(-1.42596558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144324950595677 × 6371000     		du = 44.0805548361191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42595866)-sin(-1.42596558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144331798142226-0.144324950595677)×R²
    abs(2.54688748-2.54683954)×6.84754654900477e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84754654900477e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84754654900477e-06×40589641000000     		ar = 1943.43962947477m²