Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118664 / 119286
↖ ↑ ↗
← S 81.304169°
E145.920410°		 ← 46.18 m → S 81.304169°
E145.923157°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.304585°
E145.920410°		 ← 46.17 m →
2 133 m²		 S 81.304585°
E145.923157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905338287353516 y=0.910083770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905338287353516 × 217)
    floor (0.905338287353516 × 131072)
    floor (118664.5)     		tx = 118664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910083770751953 × 217)
    floor (0.910083770751953 × 131072)
    floor (119286.5)     		ty = 119286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118664 / 119286 ti = "17/118664/119286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118664/119286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118664 ÷ 217
    118664 ÷ 131072     		x = 0.90533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119286 ÷ 217
    119286 ÷ 131072     		y = 0.910079956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54679160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910079956054688 × 2 - 1) × π
    -0.820159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57660835457802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54679160} λ = 2.54679160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57660835457802))-π/2
    2×atan(0.0760314388938173)-π/2
    2×0.0758854379602706-π/2
    0.151770875920541-1.57079632675     		φ = -1.41902545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54679160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41902545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.304169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118664 KachelY 119286 2.54679160 -1.41902545 145.920410 -81.304169
    Oben rechts KachelX + 1 118665 KachelY 119286 2.54683954 -1.41902545 145.923157 -81.304169
    Unten links KachelX 118664 KachelY + 1 119287 2.54679160 -1.41903270 145.920410 -81.304585
    Unten rechts KachelX + 1 118665 KachelY + 1 119287 2.54683954 -1.41903270 145.923157 -81.304585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41902545--1.41903270) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41902545--1.41903270) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54679160-2.54683954) × cos(-1.41902545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151188888996519 × 6371000     		do = 46.1769783015094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54679160-2.54683954) × cos(-1.41903270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151181722332085 × 6371000     		du = 46.1747894177212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41902545)-sin(-1.41903270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151188888996519-0.151181722332085)×R²
    abs(2.54683954-2.54679160)×7.16666443439928e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16666443439928e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16666443439928e-06×40589641000000     		ar = 2132.85253157426m²