Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118664 / 118664
↖ ↑ ↗
← S 81.042039°
E145.920410°		 ← 47.56 m → S 81.042039°
E145.923157°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.042467°
E145.920410°		 ← 47.56 m →
2 263 m²		 S 81.042467°
E145.923157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905338287353516 y=0.905338287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905338287353516 × 217)
    floor (0.905338287353516 × 131072)
    floor (118664.5)     		tx = 118664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905338287353516 × 217)
    floor (0.905338287353516 × 131072)
    floor (118664.5)     		ty = 118664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118664 / 118664 ti = "17/118664/118664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118664/118664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118664 ÷ 217
    118664 ÷ 131072     		x = 0.90533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118664 ÷ 217
    118664 ÷ 131072     		y = 0.90533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54679160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.8106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54679160301434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54679160} λ = 2.54679160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54679160301434))-π/2
    2×atan(0.0783325852920917)-π/2
    2×0.0781729564811146-π/2
    0.156345912962229-1.57079632675     		φ = -1.41445041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54679160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41445041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.042039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118664 KachelY 118664 2.54679160 -1.41445041 145.920410 -81.042039
    Oben rechts KachelX + 1 118665 KachelY 118664 2.54683954 -1.41445041 145.923157 -81.042039
    Unten links KachelX 118664 KachelY + 1 118665 2.54679160 -1.41445788 145.920410 -81.042467
    Unten rechts KachelX + 1 118665 KachelY + 1 118665 2.54683954 -1.41445788 145.923157 -81.042467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41445041--1.41445788) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dl = 47.5913700007673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41445041--1.41445788) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dr = 47.5913700007673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54679160-2.54683954) × cos(-1.41445041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155709740373345 × 6371000     		do = 47.5577626787056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54679160-2.54683954) × cos(-1.41445788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155702361481687 × 6371000     		du = 47.5555089752607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41445041)-sin(-1.41445788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155709740373345-0.155702361481687)×R²
    abs(2.54683954-2.54679160)×7.3788916576667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3788916576667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3788916576667e-06×40589641000000     		ar = 2263.28545153862m²