Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118662 / 119285
↖ ↑ ↗
← S 81.303754°
E145.914917°		 ← 46.18 m → S 81.303754°
E145.917664°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.304169°
E145.914917°		 ← 46.18 m →
2 133 m²		 S 81.304169°
E145.917664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905323028564453 y=0.910076141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905323028564453 × 217)
    floor (0.905323028564453 × 131072)
    floor (118662.5)     		tx = 118662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910076141357422 × 217)
    floor (0.910076141357422 × 131072)
    floor (119285.5)     		ty = 119285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118662 / 119285 ti = "17/118662/119285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118662/119285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118662 ÷ 217
    118662 ÷ 131072     		x = 0.905319213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119285 ÷ 217
    119285 ÷ 131072     		y = 0.910072326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905319213867188 × 2 - 1) × π
    0.810638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54669573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910072326660156 × 2 - 1) × π
    -0.820144653320312 × 3.1415926535     		Φ = -2.5765604176784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54669573} λ = 2.54669573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5765604176784))-π/2
    2×atan(0.076035083692631)-π/2
    2×0.0758890618094065-π/2
    0.151778123618813-1.57079632675     		φ = -1.41901820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54669573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.914917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41901820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.303754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118662 KachelY 119285 2.54669573 -1.41901820 145.914917 -81.303754
    Oben rechts KachelX + 1 118663 KachelY 119285 2.54674367 -1.41901820 145.917664 -81.303754
    Unten links KachelX 118662 KachelY + 1 119286 2.54669573 -1.41902545 145.914917 -81.304169
    Unten rechts KachelX + 1 118663 KachelY + 1 119286 2.54674367 -1.41902545 145.917664 -81.304169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41901820--1.41902545) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41901820--1.41902545) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54669573-2.54674367) × cos(-1.41901820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151196055653006 × 6371000     		do = 46.1791671828704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54669573-2.54674367) × cos(-1.41902545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151188888996519 × 6371000     		du = 46.1769783015094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41901820)-sin(-1.41902545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151196055653006-0.151188888996519)×R²
    abs(2.54674367-2.54669573)×7.1666564872841e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1666564872841e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1666564872841e-06×40589641000000     		ar = 2132.95363537144m²