Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118660 / 119172
↖ ↑ ↗
← S 81.256703°
E145.909424°		 ← 46.42 m → S 81.256703°
E145.912170°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.257120°
E145.909424°		 ← 46.42 m →
2 153 m²		 S 81.257120°
E145.912170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905307769775391 y=0.909214019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905307769775391 × 217)
    floor (0.905307769775391 × 131072)
    floor (118660.5)     		tx = 118660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909214019775391 × 217)
    floor (0.909214019775391 × 131072)
    floor (119172.5)     		ty = 119172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118660 / 119172 ti = "17/118660/119172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118660/119172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118660 ÷ 217
    118660 ÷ 131072     		x = 0.905303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119172 ÷ 217
    119172 ÷ 131072     		y = 0.909210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905303955078125 × 2 - 1) × π
    0.81060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54659986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.81842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57114354802133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54659986} λ = 2.54659986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57114354802133))-π/2
    2×atan(0.0764480733761563)-π/2
    2×0.076299664743407-π/2
    0.152599329486814-1.57079632675     		φ = -1.41819700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54659986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41819700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.256703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118660 KachelY 119172 2.54659986 -1.41819700 145.909424 -81.256703
    Oben rechts KachelX + 1 118661 KachelY 119172 2.54664779 -1.41819700 145.912170 -81.256703
    Unten links KachelX 118660 KachelY + 1 119173 2.54659986 -1.41820428 145.909424 -81.257120
    Unten rechts KachelX + 1 118661 KachelY + 1 119173 2.54664779 -1.41820428 145.912170 -81.257120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41819700--1.41820428) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dl = 46.3808800010508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41819700--1.41820428) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dr = 46.3808800010508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54659986-2.54664779) × cos(-1.41819700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152007763897237 × 6371000     		do = 46.4173993594493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54659986-2.54664779) × cos(-1.41820428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152000568491908 × 6371000     		du = 46.4152021558715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41819700)-sin(-1.41820428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152007763897237-0.152000568491908)×R²
    abs(2.54664779-2.54659986)×7.19540532867491e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.19540532867491e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.19540532867491e-06×40589641000000     		ar = 2152.82887553955m²